1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a√3, BC = 3a, ∠(ACB)=300. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 3BH...

Little Wolf / QC

Bài 1

Đề bài: Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), đáy \(ABC\) có \(AC = a\sqrt{3}\), \(BC = 3a\), \(\widehat{ACB} = 30^\circ\). Cạnh bên hợp với đáy góc \(60^{\circ }\) và \((A'BC) \perp (ABC)\). Điểm \(H \in BC\) sao cho \(HC = 3BH\) và \((A'AH) \perp (ABC)\). Tính thể tích \(V_{ABC.A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}\).

Giải:

1. Diện tích đáy \(ABC\):

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cdot \sin (\widehat{ACB})=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot 3a\cdot \sin (30^{\circ })=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Xác định chiều cao:

o Ta có \((A'BC) \perp (ABC)\) và \((A'AH) \perp (ABC)\).

o Suy ra hình chiếu của \(A^{\prime }\) lên \((ABC)\) phải nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng này.

o Giao tuyến của \((A'BC)\) và \((A'AH)\) là đường thẳng \(A'H\).

o Vậy \(A'H \perp (ABC)\), hay \(A'H\) là chiều cao \(h\) của lăng trụ.

3. Tính độ dài \(AH\):

o \(BC = 3a\) và \(HC = 3BH \Rightarrow BH = \frac{1}{4}BC = \frac{3a}{4}; HC = \frac{9a}{4}\).

o Áp dụng định lý hàm số cos trong \(\triangle AHC\):

\(AH^{2}=AC^{2}+HC^{2}-2AC\cdot HC\cdot \cos (30^{\circ })\)

\(AH^{2}=(a\sqrt{3})^{2}+\left(\frac{9a}{4}\right)^{2}-2\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{9a}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3a^{2}+\frac{81a^{2}}{16}-\frac{27a^{2}}{4}=\frac{21a^{2}}{16}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{21}}{4}\)

4. Tính chiều cao \(A'H\):

o Góc giữa cạnh bên \(AA^{\prime }\) và đáy là \(\widehat{A'AH} = 60^\circ\).

o Trong \(\triangle A'HA\) vuông tại \(H\): \(A'H = AH \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a\sqrt{21}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a\sqrt{7}}{4}\).

5. Thể tích lăng trụ:

\(V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a\sqrt{7}}{4}=\frac{\mathbf{9a}^{\mathbf{3}}\sqrt{\mathbf{21}}}{\mathbf{16}}\)

________________________________________

Bài 2

Đề bài: Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu của \(A^{\prime }\) lên \((ABCD)\) trùng với giao điểm \(O\) của hai đường chéo. Mặt \((AA'B'B)\) hợp với đáy góc \(60^{\circ }\). Tính \(V_{ABCD.A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime }}\).

Giải:

1. Diện tích đáy: \(S_{ABCD} = a^2\).

2. Xác định góc giữa \((AA'B'B)\) và đáy:

o Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Vì \(O\) là tâm hình vuông nên \(OM \perp AB\).

o Kẻ \(OH \perp AM\) tại \(H\). (Cách này phức tạp hơn, ta dùng cách trực tiếp).

o Kẻ \(OK \perp AB\) tại \(K\) (\(K\) là trung điểm \(AB\)). Ta có \(OK \perp AB\) và \(A'O \perp AB \Rightarrow AB \perp (A'OK)\).

o Suy ra góc giữa \((ABB'A')\) và đáy là \(\widehat{A'KO} = 60^\circ\).

3. Tính chiều cao \(A'O\):

o \(OK = \frac{1}{2} BC = \frac{a}{2}\).

o Trong \(\triangle A'OK\) vuông tại \(O\): \(A'O = OK \cdot \tan(60^\circ) = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

4. Thể tích lăng trụ:

\(V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }O=a^{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\)