Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: $a)~y=\frac13x^3+3x^2+5x+2;$ $b)~y=\frac{-x^2+5x-7}{x-2}.$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

b.

Hàm số đồng biến trên $$\left(1;2\right)$$ và $$\left(2;3\right)$$

Hàm số nghịch biến trên $$\left(-\infty;1\right)$$ và $$\left(3;+\infty\right)$$.

Timi · Answer

Để tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số đã cho, chúng ta cần tính đạo hàm và xác định dấu của đạo hàm. **a) Hàm số $ y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2 $** 1. Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2\right) = x^2 + 2 \cdot 3x + 5 = x^2 + 6x + 5 $$ Đạo hàm là: $ y' = x^2 + 6x + 5 $. 2. Giải phương trình $ y' = 0 $: $$ x^2 + 6x + 5 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2} $$ Tính toán: $$ x_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 $$ 3. Phân tích dấu của $ y' $ trên các khoảng: - Xét các khoảng: $ (-\infty, -5) $, $ (-5, -1) $, $ (-1, +\infty) $. - Chọn một điểm thử trong mỗi khoảng: - Với $ x = -6 $: $ y'(-6) = 36 - 36 + 5 = 5 > 0 $ (tăng). - Với $ x = -3 $: $ y'(-3) = 9 - 18 + 5 = -4 < 0 $ (giảm). - Với $ x = 0 $: $ y'(0) = 0 + 0 + 5 = 5 > 0 $ (tăng). 4. Kết luận: - Hàm số tăng trên các khoảng: $ (-\infty, -5) $ và $ (-1, +\infty) $. - Hàm số giảm trên khoảng: $ (-5, -1) $. **b) Hàm số $ y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2} $** 1. Tính đạo hàm bằng quy tắc thương: $$ y' = \frac{(x-2)(-2x + 5) - (-x^2 + 5x - 7)(1)}{(x-2)^2} $$ Tính tử số: $$ (-2x + 5)(x - 2) + (x^2 - 5x + 7) = -2x^2 + 4x + 5x - 10 + x^2 - 5x + 7 $$ Rút gọn: $$ -x^2 + 6x - 3 $$ Do đó: $$ y' = \frac{-x^2 + 6x - 3}{(x-2)^2} $$ 2. Giải phương trình $ -x^2 + 6x - 3 = 0 $: $$ x^2 - 6x + 3 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm bậc hai: $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6} $$ Nghiệm là $ x_1 = 3 - \sqrt{6}, \quad x_2 = 3 + \sqrt{6} $. 3. Phân tích dấu của $ y' $ trên các khoảng: - Xét các khoảng: $ (-\infty, 3 - \sqrt{6}) $, $ (3 - \sqrt{6}, 2) $, $ (2, 3 + \sqrt{6}) $, $ (3 + \sqrt{6}, +\infty) $. - Chọn một điểm thử trong mỗi khoảng: - Với $ x = 0 $: $ y'(0) = \frac{3}{4} > 0 $ (tăng). - Với $ x = 2.5 $: $ y'(2.5) < 0 $ (giảm). - Với $ x = 4 $: $ y'(4) > 0 $ (tăng). 4. Kết luận: - Hàm số tăng trên các khoảng: $ (-\infty, 3 - \sqrt{6}) $ và $ (3 + \sqrt{6}, +\infty) $. - Hàm số giảm trên khoảng: $ (3 - \sqrt{6}, 2) $ và $ (2, 3 + \sqrt{6}) $. **Tóm tắt:** - Hàm số $ a) $: Tăng trên $ (-\infty, -5) $ và $ (-1, +\infty) $; Giảm trên $ (-5, -1) $. - Hàm số $ b) $: Tăng trên $ (-\infty, 3 - \sqrt{6}) $ và $ (3 + \sqrt{6}, +\infty) $; Giảm trên $ (3 - \sqrt{6}, 2) $ và $ (2, 3 + \sqrt{6}) $.

Vu Nguyen · Answer

a)

$\displaystyle y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$

Tập xác định: $\displaystyle D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: $\displaystyle y' = x^2 + 6x + 5$.

$\displaystyle y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -1 \ x = -5 \end{array} ight.$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\displaystyle (-\infty; -5)$ và $\displaystyle (-1; +\infty)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\displaystyle (-5; -1)$.

---

b)

$\displaystyle y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$

Tập xác định: $\displaystyle D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Đạo hàm:

$\displaystyle y' = \frac{(-2x+5)(x-2) - (-x^2+5x-7)\cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(x-2)^2}$.

$\displaystyle y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \ x = 3 \end{array} ight.$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\displaystyle (1; 2)$ và $\displaystyle (2; 3)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\displaystyle (-\infty; 1)$ và $\displaystyle (3; +\infty)$.

toi stan đúng ng r · Answer

{"userId": 5421844, "userName": "Little Wolf / QC "}a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 + 5x + 2$Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.Đạo hàm:$y^{\prime }=x^{2}+6x+5$Xét dấu đạo hàm:Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \ x = -5 \end{cases}$Bảng xét dấu $y^{\prime }$:$y' > 0$ khi $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$$y' < 0$ khi $x \in (-5; -1)$Kết luận:Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -5)$ và $(-1; +\infty)$.Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-5; -1)$.b) $y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{x - 2}$Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.Đạo hàm:$y^{\prime }=\frac{(-2x+5)(x-2)-(-x^{2}+5x-7)}{(x-2)^{2}}=\frac{-x^{2}+4x-3}{(x-2)^{2}}$Xét dấu đạo hàm:Cho $y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \ x = 3 \end{cases}$Bảng xét dấu $y^{\prime }$ (lưu ý không xác định tại $x = 2$):$y' > 0$ khi $x \in (1; 2) \cup (2; 3)$$y' < 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$Kết luận:Hàm số đồng biến trên các khoảng $(1; 2)$ và $(2; 3)$.Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$.

•Đào ๖ۣۜĐại ๖ۣۜVũ• · Answer