Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là “tốt” nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó đồng thời số câu dễ không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tính xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi tốt

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

1. Tính tổng số đề thi có thể tạo ra ($n(\Omega)$)

Tổng số câu hỏi là $15 + 10 + 5 = 30$ câu. Mỗi đề chọn ra 5 câu từ 30 câu này.

$n(\Omega )=C_{30}^{5}=142,506$

2. Tính số đề thi "tốt" ($n(A)$)

Một đề thi được gọi là "tốt" nếu thỏa mãn các điều kiện:

• Có đủ 3 loại câu: Dễ (D), Trung bình (TB), Khó (K).

• Tổng số câu là 5.

• Số câu dễ $\ge 2$.

Dựa vào các điều kiện trên, ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: 2 Dễ, 2 Trung bình, 1 Khó

$C_{15}^{2}\cdot C_{10}^{2}\cdot C_{5}^{1}=105\cdot 45\cdot 5=23,625$

• Trường hợp 2: 2 Dễ, 1 Trung bình, 2 Khó

$C_{15}^{2}\cdot C_{10}^{1}\cdot C_{5}^{2}=105\cdot 10\cdot 10=10,500$

• Trường hợp 3: 3 Dễ, 1 Trung bình, 1 Khó

$C_{15}^{3}\cdot C_{10}^{1}\cdot C_{5}^{1}=455\cdot 10\cdot 5=22,750$

Tổng số đề thi tốt là:

$n(A)=23,625+10,500+22,750=56,875$

3. Tính xác suất ($P(A)$)

$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{56,875}{142,506}$

Rút gọn phân số:

$P(A)\approx 0.399$

Đáp số: Xác suất để lấy ra một đề thi tốt là khoảng 0.399 (hay $\frac{56,875}{142,506}$).

Timi · Answer

Để tính xác suất của một đề thi "tốt", trước tiên chúng ta cần xác định tổng số cách chọn đề thi và số cách chọn để tạo ra một đề thi "tốt".

**Bước 1: Tính tổng số cách chọn đề thi**

Tổng số câu hỏi là:
- 15 câu dễ
- 10 câu trung bình
- 5 câu khó

Tổng cộng: $15 + 10 + 5 = 30$ câu.

Số cách chọn 5 câu từ 30 câu là:
$$
C(30, 5) = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!} = 142506
$$

**Bước 2: Tính số cách chọn để tạo ra một đề thi "tốt"**

Một đề thi được gọi là "tốt" nếu có ít nhất 2 câu dễ, ít nhất 1 câu trung bình và ít nhất 1 câu khó.

Chúng ta có thể phân tích theo số lượng câu dễ:

1. **Trường hợp 2 câu dễ:**
   - 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó:
     - Số cách chọn là: $C(15, 2) \times C(10, 1) \times C(5, 2)$
   - 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó:
     - Số cách chọn là: $C(15, 2) \times C(10, 2) \times C(5, 1)$

2. **Trường hợp 3 câu dễ:**
   - 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó:
     - Số cách chọn là: $C(15, 3) \times C(10, 1) \times C(5, 1)$
   - 3 câu dễ, 2 câu trung bình: (không thể có 3 câu dễ và 2 câu khó trong 5 câu)

3. **Trường hợp 4 câu dễ:**
   - 4 câu dễ, 1 câu trung bình: 
     - Số cách chọn là: $C(15, 4) \times C(10, 1) \times C(5, 0)$

4. **Trường hợp 5 câu dễ:** (không hợp lệ vì không có đủ câu trung bình và khó)

**Tính từng trường hợp:**

1. Với 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó:
$$
C(15, 2) \times C(10, 1) \times C(5, 2) = \frac{15!}{2!13!} \times \frac{10!}{1!9!} \times \frac{5!}{2!3!} = 105 \times 10 \times 10 = 10500
$$

2. Với 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó:
$$
C(15, 2) \times C(10, 2) \times C(5, 1) = 105 \times 45 \times 5 = 23625
$$

3. Với 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó:
$$
C(15, 3) \times C(10, 1) \times C(5, 1) = 455 \times 10 \times 5 = 22750
$$

4. Với 4 câu dễ, 1 câu trung bình:
$$
C(15, 4) \times C(10, 1) \times C(5, 0) = 1365 \times 10 \times 1 = 13650
$$

**Tổng số cách tạo ra đề thi "tốt":**
$$
10500 + 23625 + 22750 + 13650 = 70525
$$

**Bước 3: Tính xác suất**

Xác suất để một đề thi được chọn là "tốt" là:
$$
P(A) = \frac{\text{Số cách chọn đề thi "tốt"}}{\text{Tổng số cách chọn đề thi}} = \frac{70525}{142506}
$$

Sau khi tính toán, ta có:
$$
P(A) \approx 0.494
$$

**Kết luận:** Xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi tốt là khoảng $0.494$ hay $49.4\%$.

Anh Trí · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Không gian mẫu là số cách chọn 5 câu hỏi từ 30 câu:

$n(\Omega) = C_{30}^5 = 142506$

Gọi A là biến cố lấy ra một đề thi tốt.

Trường hợp 1: Đề gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó:

$C_{15}^2 \cdot C_{10}^2 \cdot C_5^1 = 105 \cdot 45 \cdot 5 = 23625$ cách.

Trường hợp 2: Đề gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó:

$C_{15}^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_5^2 = 105 \cdot 10 \cdot 10 = 10500$ cách.

Trường hợp 3: Đề gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó:

$C_{15}^3 \cdot C_{10}^1 \cdot C_5^1 = 455 \cdot 10 \cdot 5 = 22750$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A:

$n(A) = 23625 + 10500 + 22750 = 56875$

Xác suất để lấy được đề thi tốt:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{56875}{142506} \approx 0,3991$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Tổng số câu hỏi:

$$15+10+5=30$$ câu

Số cách chọn ngẫu nhiên một đề gồm 5 câu:

$$n\left(\Omega\right)=C_{30}^5=142506$$ cách

Gọi A là biến cố: "Số cách chọn đề thi tốt"

Một đề thi tốt có đủ 3 loại câu, số câu dễ $$\ge2$$ nên:

Trường hợp 1: Có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó:

$$C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1=23625$$ cách

Trường hợp 2: Có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó:

$$C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2=10500$$ cách

Trường hợp 3: Có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó:

$$C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1=22750$$ cách

Tổng số cách chọn đề thi tốt:

$$n\left(A\right)=23625+10500+22750=56875$$ cách

Xác suất chọn một đề thi tốt:

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{56875}{142506}\approx0,4$$.

nguyễn thùy linh · Answer

Tổng số câu hỏi trong bộ đề là:

15 + 10 + 5 = 30 câu

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 câu từ 30 câu để tạo thành một đề thi là:

$n(\Omega) = C_{30}^5 = 142506$

Gọi A là biến cố "đề thi lấy ra là một đề thi tốt". Đề thi tốt phải có đủ 3 loại câu (dễ, trung bình, khó) và số câu dễ không ít hơn 2 (tức là có ít nhất 2 câu dễ).

Vì tổng số câu là 5 nên ta có các trường hợp thỏa mãn sau:

Trường hợp 1: Đề gồm 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó

Số cách chọn là:

$C_{15}^2 \cdot C_{10}^2 \cdot C_{5}^1 = 105 \cdot 45 \cdot 5 = 23625$

Trường hợp 2: Đề gồm 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó

Số cách chọn là:

$C_{15}^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{5}^2 = 105 \cdot 10 \cdot 10 = 10500$

Trường hợp 3: Đề gồm 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó

Số cách chọn là:

$C_{15}^3 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{5}^1 = 455 \cdot 10 \cdot 5 = 22750$

Tổng số đề thi tốt là:

$n(A) = 23625 + 10500 + 22750 = 56875$

Xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi tốt là:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{56875}{142506} \approx 0,3991$

Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. Một đề thi được gọi là “tốt” nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, trung bình và khó đồng...