1) Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau. BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M, B lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích khối chóp C.BDNM. 2) Cho hình chóp S.ABCD có đá...

Little Wolf / QC

Bài 1

Đề bài: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(BA, BC, BD\) đôi một vuông góc. \(BA = 3a, BC = BD = 2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Tính thể tích khối chóp \(C.BDNM\). (Lưu ý: Đề ghi "M, B" nhưng dựa trên ngữ cảnh thường là M, N).

Giải:

1. Thể tích khối \(ABCD\):

Vì \(BA, BC, BD\) đôi một vuông góc nên:

\(V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot BA\cdot BC\cdot BD=\frac{1}{6}\cdot 3a\cdot 2a\cdot 2a=2a^{3}\)

2. Tính tỉ số thể tích:

Xét khối chóp \(A.MNC\) so với \(A.BDC\):

\(\frac{V_{A.MNC}}{V_{A.BDC}}=\frac{AM}{AB}\cdot \frac{AN}{AD}\cdot \frac{AC}{AC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\)

Suy ra \(V_{A.MNC} = \frac{1}{4} V_{ABCD} = \frac{1}{2} a^3\).

3. Thể tích khối \(C.BDNM\):

\(V_{C.BDNM}=V_{ABCD}-V_{A.MNC}=2a^{3}-\frac{1}{2}a^{3}=\frac{3}{2}a^{3}\)

________________________________________

Bài 2

Đề bài: Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành. \(M\) là trung điểm \(SB\), \(G\) là trọng tâm \(\triangle SBC\). Tính tỉ số \(V / V'\) với \(V = V_{M.ABC}\) và \(V' = V_{G.ABD}\).

Giải:

1. Tính \(V\):

\(V_{M.ABC}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}V_{S.ABCD}\right)=\frac{1}{4}V_{S.ABCD}\)

2. Tính \(V^{\prime }\):

Gọi \(h\) là chiều cao từ \(S\) đến mặt đáy \((ABCD)\). Khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của \(\triangle SBC\) đến mặt đáy bằng \(\frac{1}{3}\) khoảng cách từ \(S\) đến mặt đáy (do \(G\) nằm trên trung tuyến từ \(C\), cách đáy bằng \(1/3\) đỉnh \(S\)).

\(V_{G.ABD}=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{3}h\right)\cdot S_{ABD}=\frac{1}{9}h\cdot \left(\frac{1}{2}S_{ABCD}\right)=\frac{1}{6}V_{S.ABCD}\)

3. Tỉ số:

\(\frac{V}{V^{\prime }}=\frac{1/4}{1/6}=\frac{3}{2}\)

________________________________________

Bài 3

Đề bài: Hình chóp \(S.ABCD\), đáy thang vuông tại \(A, D\). \(SA \perp (ABCD)\). \(AB=2a, AD=CD=a\). Góc giữa \((SBC)\) và đáy là \(60^{\circ }\). \((P)\) qua \(CD\) và trọng tâm \(G\) của \(\triangle SAB\) cắt \(SA, SB\) tại \(M, N\). Tính \(V_{S.CDMN}\).

Giải:

1. Xác định góc và tính \(SA\):

Kẻ \(CH \perp AB\) (\(H \in AB\)). Ta có \(CH = AD = a, HB = AB - AH = 2a - a = a\).

\(\triangle CHB\) vuông cân tại \(H \Rightarrow CB = a\sqrt{2}\).

Sử dụng diện tích hoặc hình chiếu để tìm góc, ta tính được \(SA = a\sqrt{6}\).

2. Xác định thiết diện:

Vì \(CD \parallel AB\), nên \((P)\) cắt \((SAB)\) theo giao tuyến \(MN \parallel AB \parallel CD\).

\(G\) là trọng tâm \(\triangle SAB \Rightarrow \frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{2}{3}\).

3. Tính thể tích:

Chia khối \(S.CDMN\) thành hai phần \(S.MNC\) và \(S.MDC\):

o \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3} SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3} a\sqrt{6} \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a) = \frac{a^3\sqrt{6}}{3}\)

o \(V_{S.MNC} = V_{S.ABC} \cdot \frac{SM}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} = \frac{a^3\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4a^3\sqrt{6}}{27}\)

o \(V_{S.ADC} = \frac{1}{3} SA \cdot S_{ADC} = \frac{1}{3} a\sqrt{6} \cdot (\frac{1}{2} a^2) = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}\)

o \(V_{S.MDC} = V_{S.ADC} \cdot \frac{SM}{SA} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{9}\)

4. Tổng thể tích:

\(V_{S.CDMN}=\frac{4a^{3}\sqrt{6}}{27}+\frac{a^{3}\sqrt{6}}{9}=\frac{7a^{3}\sqrt{6}}{27}\)