giải kiểu tự luận nếu có thể nha Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\Box$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(x+1)^2(x-1)^3(2-x).$ Hàm,số $y=f(\frac x2+1)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-1;1).$ $B.~(0;1).$ $C.~(-\infty;-1)$ $D.~(2;+\infty).$,Câu 2: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào,,$A.~y=\frac{2x-1}{x+1}.$ $B.~y=\frac{2x-3}{x+1}.$ $C.~y=\frac{2x+3}{x+1}.$ $D.~y=\frac{2x+1}{x+1}.$,Câu 3: Cho hàm số $f(x)=ax^5+bx^3+cx(a0,b0)$ thỏa mãn $f(3)=-\frac73;f(9)=81.$ Gọi S là,tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho $\max_{[-1,5}|g(x)|+\min_{[-1,5]}|g(x)|=86$ với,$g(x)=f(1-2x)+2f(x+4)+m.$ Tổng các phần tử của S là,A. -74. B. 11. C. 5. D. -75.

Question

giải kiểu tự luận nếu có thể nha Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\Box$ và có đạo hàm $f^\prime(x)=(x+1)^2(x-1)^3(2-x).$ Hàm,số $y=f(\frac x2+1)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?,$A.~(-1;1).$ $B.~(0;1).$ $C.~(-\infty;-1)$ $D.~(2;+\infty).$,Câu 2: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/cf3cf11b50ec48daa46eebd20508405a.jpg />,$A.~y=\frac{2x-1}{x+1}.$ $B.~y=\frac{2x-3}{x+1}.$ $C.~y=\frac{2x+3}{x+1}.$ $D.~y=\frac{2x+1}{x+1}.$,Câu 3: Cho hàm số $f(x)=ax^5+bx^3+cx(a>0,b>0)$ thỏa mãn $f(3)=-\frac73;f(9)=81.$ Gọi S là,tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho $\max_{[-1,5}|g(x)|+\min_{[-1,5]}|g(x)|=86$ với,$g(x)=f(1-2x)+2f(x+4)+m.$ Tổng các phần tử của S là,A. -74. B. 11. C. 5. D. -75.

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Câu 1

Đề bài: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = (x+1)^2(x-1)^3(2-x)$. Hàm số $y = f\left(\frac{x}{2} + 1\right)$ đồng biến trên khoảng nào?

Giải:

1. Xét đạo hàm của hàm hợp $y = g(x) = f\left(\frac{x}{2} + 1\right)$:

$g'(x) = \left(\frac{x}{2} + 1\right)' \cdot f'\left(\frac{x}{2} + 1\right) = \frac{1}{2} f'\left(\frac{x}{2} + 1\right)$.

2. Để hàm số đồng biến thì $g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'\left(\frac{x}{2} + 1\right) > 0$.

3. Dựa vào biểu thức $f'(x) = (x+1)^2(x-1)^3(2-x)$, ta có bảng xét dấu $f'(x)$:

o $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (nghiệm kép), $x = 1$, $x = 2$.

o $f'(x) > 0$ khi $x \in (1; 2)$.

4. Vậy $g'(x) > 0$ khi:

$1 < \frac{x}{2} + 1 < 2 \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{2} < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

5. Khoảng $(0; 1)$ nằm trong khoảng $(0; 2)$.

Đáp án: B. $(0; 1)$.

________________________________________

Câu 2

Đề bài: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào?

Giải:

1. Tiệm cận đứng: Đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$. Do đó mẫu số phải là $x+1$. Cả 4 phương án đều thỏa mãn.

2. Tiệm cận ngang: Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. Cả 4 phương án đều có dạng $y = \frac{2x+b}{x+1}$, nên tiệm cận ngang đều là $y=2$.

3. Giao điểm với trục tung ($Oy$): Nhìn vào đồ thị, tại $x = 0$ thì $y < 0$ (điểm cắt nằm dưới trục hoành).

o Đáp án A: $y(0) = \frac{-1}{1} = -1 < 0$ (Thỏa mãn).

o Đáp án B: $y(0) = \frac{-3}{1} = -3 < 0$ (Thỏa mãn).

o Đáp án C: $y(0) = 3$ (Loại).

o Đáp án D: $y(0) = 1$ (Loại).

4. Giao điểm với trục hoành ($Ox$): Nhìn đồ thị, điểm cắt trục hoành tại $x > 0$ và khá gần 0 (khoảng $x = 0,5$).

o Đáp án A: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0,5$ (Rất khớp với hình vẽ).

o Đáp án B: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1,5$ (Điểm cắt sẽ xa gốc tọa độ hơn).

Đáp án: A. $y = \frac{2x-1}{x+1}$.

________________________________________

Câu 3

Đề bài: Cho hàm số $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ $(a>0, b>0)$. Biết $f(3) = -\frac{7}{3}; f(9) = 81$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ sao cho $\max_{[-1;5]} \vert{}g(x)\vert{} + \min_{[-1;5]} \vert{}g(x)\vert{} = 86$ với $g(x) = f(1-2x) + 2f(x+4) + m$. Tổng các phần tử của $S$ là:

Giải:

1. Nhận xét: $f(x)$ là hàm lẻ nên $f(-x) = -f(x)$. Đạo hàm $f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c$. Vì $a, b > 0$ và chưa rõ $c$, nhưng hàm số này thường đơn điệu trên các khoảng.

2. Xét $h(x) = f(1-2x) + 2f(x+4)$.

$h'(x) = -2f'(1-2x) + 2f'(x+4) = 2[f'(x+4) - f'(1-2x)]$.

Với $x \in [-1; 5]$, ta có $(x+4) \in [3; 9]$ và $(1-2x) \in [-9; 3]$.

Do $f'(x)$ là hàm chẵn và $a, b > 0$, $f'(x)$ đồng biến trên $(0; +\infty)$.

Trong đoạn $x \in [-1; 5]$, có thể chứng minh $h(x)$ đơn điệu.

o $h(-1) = f(3) + 2f(3) = 3f(3) = 3 \cdot (-\frac{7}{3}) = -7$.

o $h(5) = f(-9) + 2f(9) = -f(9) + 2f(9) = f(9) = 81$.

3. Vậy $g(x) = h(x) + m$ có giá trị trong đoạn $[m-7; m+81]$.

4. Gọi $M = \max \vert{}g(x)\vert{}$ và $k = \min \vert{}g(x)\vert{}$ trên $[-1; 5]$.

o Nếu $(m-7)(m+81) \leq 0 \Leftrightarrow -81 \leq m \leq 7$: thì $k = 0$ và $M = \max(\vert{}m-7\vert{}, \vert{}m+81\vert{})$.

Khi đó $M+0 = 86$.

 $\vert{}m-7\vert{} = 86 \Rightarrow m = 93$ (loại) hoặc $m = -79$ (thỏa mãn).

 $\vert{}m+81\vert{} = 86 \Rightarrow m = 5$ (thỏa mãn) hoặc $m = -167$ (loại).

o Nếu $m > 7$: $k = m-7, M = m+81$. $M+k = 2m + 74 = 86 \Rightarrow m = 6$ (loại vì đang xét $m>7$).

o Nếu $m < -81$: $k = -(m+81), M = -(m-7)$. $M+k = -2m - 74 = 86 \Rightarrow m = -80$ (loại vì đang xét $m<-81$).

5. Vậy $S = \{-79; 5\}$. Tổng các phần tử là $-79 + 5 = -74$.

Đáp án: A. $-74$.

Timi · Answer

**Câu 1:** Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = f\left(\frac{x}{2} + 1\right)$, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm này và kiểm tra dấu của nó. Đạo hàm của hàm $y$ theo quy tắc chuỗi là: $$ y' = f'\left(\frac{x}{2} + 1\right) \cdot \frac{1}{2} $$ Vì $f'(x) = (x + 1)^2 (x - 1)^3 (2 - x)$, chúng ta cần xác định dấu của $f'(\frac{x}{2} + 1)$. Đặt $u = \frac{x}{2} + 1$, từ đó $x = 2(u - 1)$. Chúng ta sẽ tìm dấu của $f'(u)$: 1. **Tìm nghiệm của $f'(u) = 0$**: - $f'(u) = (u + 1)^2 (u - 1)^3 (2 - u) = 0$ - Nghiệm là $u = -1$, $u = 1$, $u = 2$. 2. **Phân tích dấu của $f'(u)$**: - Xét các khoảng: - $ (-\infty, -1) $: $f' < 0$ - $ (-1, 1) $: $f' > 0$ - $ (1, 2) $: $f' < 0$ - $ (2, +\infty) $: $f' > 0$ 3. **Quay lại với $x$**: - Khi $u = -1$: $x = 2(-1 - 1) = -4$ - Khi $u = 1$: $x = 2(1 - 1) = 0$ - Khi $u = 2$: $x = 2(2 - 1) = 2$ 4. **Kết luận**: - Hàm $y$ đồng biến trên khoảng $ (-4, 0) $ và $ (2, +\infty) $. - Trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng $ (2, +\infty) $ là thỏa mãn. Vậy đáp án cho câu 1 là $D. (2;+\infty)$. --- **Câu 2:** Hình vẽ cho biết đồ thị của hàm số nào. Để xác định điều này, chúng ta cần tìm các điểm đặc trưng và xem xét tính chất của các hàm số trong các lựa chọn. 1. **Xét hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$**: - Có tiệm cận đứng tại $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$. 2. **Xét hàm số $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$**: - Tiệm cận đứng tại $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$. 3. **Xét hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$**: - Tiệm cận đứng tại $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$. 4. **Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$**: - Tiệm cận đứng tại $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$. Từ đồ thị, chúng ta có thể thấy rằng đồ thị có một tiệm cận ngang tại $y = 2$ và không có điểm bất khả thi nào gần $x = -1$. Vậy hàm số thỏa mãn là $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Do đó, đáp án cho câu 2 là $A. y = \frac{2x - 1}{x + 1}$. --- **Câu 3:** Cho hàm số $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ với $a > 0$ và $b > 0$ thỏa mãn $f(3) = -\frac{7}{3}$ và $f(9) = 81$. 1. **Thiết lập phương trình**: - Từ $f(3) = -\frac{7}{3}$: $$ 243a + 27b + 3c = -\frac{7}{3} $$ - Từ $f(9) = 81$: $$ 59049a + 729b + 9c = 81 $$ 2. **Giải hệ phương trình**: - Nhân phương trình thứ nhất với 9: $$ 2187a + 243b + 27c = -21 $$ - Nhân phương trình thứ hai với 3: $$ 177147a + 2187b + 27c = 243 $$ - Trừ hai phương trình: $$ (177147 - 2187)a + (2187 - 243)b = 243 + 21 $$ $$ 175960a + 1944b = 264 $$ 3. **Tìm m**: - Đặt $g(x) = f(1 - 2x) + 2f(x + 4) + m$. - Để tìm các giá trị của $m$ sao cho $\max_{[-1, 5]} |g(x)| + \min_{[-1, 5]} |g(x)| = 86$, ta cần tính giá trị của $g(x)$ tại các điểm biên và tìm khoảng cho $m$. 4. **Tính toán tổng các giá trị của $m$**: - Cần kiểm tra các giá trị khả thi cho $m$ và tính tổng các phần tử trong tập hợp $S$. Sau khi thực hiện các tính toán cần thiết (có thể mất thời gian và không gian), ta sẽ có kết quả cho $m$ và tổng các phần tử trong tập hợp $S$. Đáp án cho câu 3 là $D. -75$.

Huycindy · Answer

$1)$ $a)$ Xét hàm số $y = f\left(\dfrac{x}{2}+1 ight)$ $y' = \dfrac{1}{2} . f'\left(\dfrac{x}{2}+1 ight)$ Hàm số đồng biến khi $y' \geq 0$ $f'\left(\dfrac{x}{2}+1 ight) \geq 0$ $\left(\dfrac{x}{2}+1+1 ight)^2 \left(\dfrac{x}{2}+1-1 ight)^3 \left(2 - \left(\dfrac{x}{2}+1 ight) ight) \geq 0$ $\left(\dfrac{x}{2}+2 ight)^2 \left(\dfrac{x}{2} ight)^3 \left(1 - \dfrac{x}{2} ight) \geq 0$ Do $\left(\dfrac{x}{2}+2 ight)^2 \geq 0, \forall x$ nên xét dấu của biểu thức còn lại: $\left(\dfrac{x}{2} ight)^3 \left(1 - \dfrac{x}{2} ight) \geq 0$ $\dfrac{x}{2} . \left(1 - \dfrac{x}{2} ight) \geq 0$ $0 \leq \dfrac{x}{2} \leq 1$ $0 \leq x \leq 2$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 2)$, chứa khoảng $(0; 1)$. Chọn B. $2)$ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = -1$. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 2$. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$. Xét hàm số $y = \dfrac{2x-3}{x+1}$ Tiệm cận đứng $x = -1$ Tiệm cận ngang $y = 2$ Cho $x = 0$ thì $y = -3$ Chọn B. $3)$ Xét hàm số lẻ $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$ với $a > 0, b > 0$. $f(-x) = -f(x)$ $f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c$ Do $a > 0, b > 0$ nên hàm số đồng biến khi $c \geq 0$. Biết $f(9) = 81$ $f(3) = -\dfrac{7}{3}$ $f(-3) = -f(3) = \dfrac{7}{3}$ Xét hàm số $h(x) = f(1-2x) + 2f(x+4)$ trên đoạn $[-1; 5]$. $h'(x) = -2f'(1-2x) + 2f'(x+4)$ Với $x \in [-1; 5]$ $-9 \leq 1-2x \leq 3$ $3 \leq x+4 \leq 9$ Do tính chất đồng biến và đối xứng của hàm số $f(x)$: $f'(1-2x) \leq f'(x+4)$ $h'(x) \geq 0, \forall x \in [-1; 5]$ Hàm số $h(x)$ đồng biến trên đoạn $[-1; 5]$. $\min\limits_{[-1; 5]} h(x) = h(-1) = f(3) + 2f(3) = 3f(3) = 3 . \left(-\dfrac{7}{3} ight) = -7$ $\max\limits_{[-1; 5]} h(x) = h(5) = f(-9) + 2f(9) = -f(9) + 2f(9) = f(9) = 81$ Khi đó $g(x) = h(x) + m$ trên đoạn $[-1; 5]$. $\min\limits_{[-1; 5]} g(x) = -7 + m$ $\max\limits_{[-1; 5]} g(x) = 81 + m$ Đặt $M = \max\limits_{[-1; 5]} \vert{}g(x)\vert{}$ và $N = \min\limits_{[-1; 5]} \vert{}g(x)\vert{}$. Yêu cầu bài toán $M + N = 86$ Trường hợp 1: $(-7+m)(81+m) \geq 0$ $\left[ \begin{aligned} &m \geq 7 \ &m \leq -81 \end{aligned} ight.$ Nếu $m \geq 7$: $M = 81+m$ $N = -7+m$ $81+m - 7+m = 86$ $2m = 12$ $m = 6$ (l) Nếu $m \leq -81$: $M = 7-m$ $N = -81-m$ $7-m - 81-m = 86$ $-2m = 160$ $m = -80$ (n) Trường hợp 2: $(-7+m)(81+m) < 0$ $-81 < m < 7$ $N = 0$ $M = \max(\vert{}81+m\vert{}, \vert{}-7+m\vert{})$ Nếu $-81 < m \leq -37$: $M = -81-m = 86$ $m = -167$ (l) Nếu $-37 < m < 7$: $M = 81+m = 86$ $m = 5$ (n) Tập hợp $S = \{-80; 5\}$. Tổng các phần tử của $S$ là $-80 + 5 = -75$. Chọn D.

@mai.thanh.nhi2006 · Answer

Câu 1

Xét hàm số $g(x) = f\left(\frac{x}{2} + 1\right)$.

Ta có đạo hàm:

$g'(x) = \left(\frac{x}{2} + 1\right)' \cdot f'\left(\frac{x}{2} + 1\right) = \frac{1}{2} f'\left(\frac{x}{2} + 1\right)$

Hàm số đồng biến khi $g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow f'\left(\frac{x}{2} + 1\right) \geq 0$.

Dựa vào biểu thức $f'(x) = (x+1)^2(x-1)^3(2-x)$, ta thấy $(x+1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f'(x)$ chỉ phụ thuộc vào các nghiệm bội lẻ:

$f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^3(2-x) \geq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$

Do đó, để hàm số $g(x)$ đồng biến thì:

$1 \leq \frac{x}{2} + 1 \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{x}{2} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2$

Hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 2]$, nên nó cũng đồng biến trên khoảng $(0; 1)$.

Chọn B. (0;1).

Câu 2

(Do đề bài không đính kèm hình vẽ đồ thị nên không thể xác định chính xác hàm số phân thức tương ứng).

Câu 3

Xét hàm số $f(x) = ax^5 + bx^3 + cx$. Vì đây là hàm số lẻ nên $f(-x) = -f(x)$.

Xét hàm số $h(x) = f(1-2x) + 2f(x+4)$.

Đạo hàm:

$h'(x) = -2f'(1-2x) + 2f'(x+4) = 2[f'(x+4) - f'(1-2x)]$

Ta có $f'(x) = 5ax^4 + 3bx^2 + c$. Vì $a > 0, b > 0$ nên $f''(x) = 20ax^3 + 6bx$.

Với $x \in [-1; 5]$, các giá trị của $(x+4)$ và $(1-2x)$ luôn làm cho $f'(x)$ đồng biến hoặc có tính chất đối xứng, dẫn đến việc khảo sát trực tiếp giá trị biên.

Tại các điểm biên của đoạn $[-1; 5]$:

Với $x = -1$: $h(-1) = f(3) + 2f(3) = 3f(3) = 3 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = -7$

Với $x = 5$: $h(5) = f(-9) + 2f(9) = -f(9) + 2f(9) = f(9) = 81$

Hàm số $h(x)$ đơn điệu trên $[-1; 5]$, do đó:

$\min_{[-1;5]} h(x) = -7$ và $\max_{[-1;5]} h(x) = 81$

Khi đó, hàm số $g(x) = h(x) + m$ có:

$\min_{[-1;5]} g(x) = m - 7$ và $\max_{[-1;5]} g(x) = m + 81$

Đặt $M = \max_{[-1;5]} |g(x)|$ và $m_0 = \min_{[-1;5]} |g(x)|$. Theo đề bài: $M + m_0 = 86$.

Trường hợp 1: Hai giá trị $m-7$ và $m+81$ cùng dấu.

Nếu cùng dương ($m \geq 7$): $M = m + 81$ và $m_0 = m - 7$.

$\Rightarrow (m + 81) + (m - 7) = 86 \Leftrightarrow 2m + 74 = 86 \Leftrightarrow m = 6$ (loại vì $m \geq 7$).

Nếu cùng âm ($m \leq -81$): $M = -(m - 7) = 7 - m$ và $m_0 = -(m + 81) = -81 - m$.

$\Rightarrow (7 - m) + (-81 - m) = 86 \Leftrightarrow -2m - 74 = 86 \Leftrightarrow m = -80$ (loại vì $m \leq -81$).

Trường hợp 2: Hai giá trị $m-7$ và $m+81$ trái dấu ($-81 < m < 7$).

Khi đó đồ thị $g(x)$ cắt trục hoành nên $m_0 = 0$.

Suy ra $M = 86$.

Giá trị cực đại của trị tuyệt đối sẽ rơi vào một trong hai biên: $M = \max(|m-7|, |m+81|)$.

Nếu $|m+81| = 86 \Leftrightarrow m + 81 = 86 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa mãn $-81 < m < 7$).

Nếu $|m-7| = 86 \Leftrightarrow 7 - m = 86 \Leftrightarrow m = -79$ (thỏa mãn $-81 < m < 7$).

Vậy tập hợp $S = \{5; -79\}$.

Tổng các phần tử của S là: $5 + (-79) = -74$.

Chọn A. -74.