1) Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’
2)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:

Question

Hoa Nguyễn · Accepted Answer

Bài 1:

Bài 2:

Timi · Answer

1) Để tính thể tích của khối A’.ACD’, trước tiên chúng ta cần xác định các thông số cần thiết.

- Hình hộp đứng có các cạnh: AB = 3a, AD = 2a, AA’ = 2a.
- Thể tích của hình hộp đứng được tính bằng công thức V = chiều dài * chiều rộng * chiều cao.

Trong trường hợp này, chiều dài là AB = 3a, chiều rộng là AD = 2a và chiều cao là AA’ = 2a.

Tính thể tích của hình hộp đứng:
$$ V_{hình\ hộp} = AB \times AD \times AA&#x27; = 3a \times 2a \times 2a = 12a^3 $$

Tuy nhiên, để tính thể tích của khối A’.ACD’, chúng ta sẽ xem nó như một khối chóp với đáy là tam giác ACD.

Diện tích đáy ACD được tính bằng công thức:
- ACD là tam giác có độ dài các cạnh là AC = AD = 2a và CD = 3a.

Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác:
$$ s = \frac{AC + AD + CD}{2} = \frac{2a + 2a + 3a}{2} = \frac{7a}{2} $$

Diện tích tam giác ACD là:
$$ S_{ACD} = \sqrt{s(s - AC)(s - AD)(s - CD)} = \sqrt{\frac{7a}{2} \left(\frac{7a}{2} - 2a\right) \left(\frac{7a}{2} - 2a\right) \left(\frac{7a}{2} - 3a\right)} $$

Giải từng phần trong công thức Heron:
$$ \frac{7a}{2} - 2a = \frac{3a}{2},\quad \frac{7a}{2} - 3a = \frac{a}{2} $$

Thay vào công thức:
$$ S_{ACD} = \sqrt{\frac{7a}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{3a}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \sqrt{\frac{63a^4}{16}} = \frac{3\sqrt{7}a^2}{4} $$

Cuối cùng, thể tích của khối A’.ACD’:
$$ V_{A’.ACD’} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot AA’ = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{7}a^2}{4} \cdot 2a = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{7} \cdot 2a^3}{4} = \frac{3\sqrt{7}a^3}{6} = \frac{\sqrt{7}a^3}{2} $$

**Đáp án:**
Thể tích của khối A’.ACD’ là $\frac{\sqrt{7}a^3}{2}$.

---

2) Để tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’, trước tiên ta cần tính diện tích đáy A’B’C’ và chiều cao từ M tới mặt phẳng đáy.

- Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a√3, nên diện tích của nó được tính như sau:
$$ S_{A&#x27;B&#x27;C&#x27;} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot (a\sqrt{3})^2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 3a^2 = \frac{3a^4\sqrt{3}}{4} $$

- Chiều cao h từ điểm M đến mặt phẳng đáy (A’B’C’). Với góc giữa và đáy là 60º, ta có:
$$ h = OA&#x27; \cdot \tan(60º) = OA&#x27; \cdot \sqrt{3} $$
Trong đó OA&#x27; là chiều cao của hình lăng trụ, mà theo đề bài sẽ bằng khoảng cách từ A’B’C’ tới M.

Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ được tính bằng công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot S_{A&#x27;B&#x27;C&#x27;} \cdot h $$

Thay các giá trị đã tính vào công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^4\sqrt{3}}{4} \cdot OA&#x27; \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^4\sqrt{3}}{4} \cdot OA&#x27; \cdot \sqrt{3} = \frac{3a^4 \cdot 3 \cdot OA&#x27;}{12} = \frac{3a^4OA&#x27;}{4} $$

Cuối cùng, để có thể tính cụ thể hơn về h, cần có giá trị cụ thể cho OA&#x27;.

**Đáp án:**
Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là $\frac{3a^4 \cdot OA&#x27;}{4}$.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Bài 1:

Phương pháp giải bằng phân chia thể tích

Thể tích của khối hộp đứng $ABCD.A'B'C'D'$ là:

$V_{\text{hp}}=AB\cdot AD\cdot AA^{\prime }=3a\cdot 2a\cdot 2a=12a^{3}$

Khối chóp $A'.ACD'$ được tạo thành bằng cách cắt bỏ 4 khối chóp tam giác ở các góc của hình hộp:

• Khối $V_1 = V_{A.A'CD} = V_{A'.ACD}$ (đỉnh $A^{\prime }$, đáy $ACD$):

$V_{1}=\frac{1}{3}\cdot AA^{\prime }\cdot S_{ACD}=\frac{1}{3}\cdot AA^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{2}AB\cdot AD\right)=\frac{1}{6}V_{\text{hp}}$

• Tương tự, 3 khối chóp còn lại bị cắt đi ở các góc cũng có thể tích bằng $\frac{1}{6} V_{\text{hộp}}$, bao gồm:

o Khối $V_{C.B^{\prime }CD^{\prime }}$ (hoặc tương đương góc $C^{\prime }$): $V_{C^{\prime }.A^{\prime }CD^{\prime }}$

o Khối $V_{B^{\prime }.A^{\prime }BC}$

o Khối $V_{D^{\prime }.A^{\prime }CD}$

Do đó, thể tích khối chóp $A'.ACD'$ là:

$V_{A^{\prime }.ACD^{\prime }}=V_{\text{hp}}-4\cdot \left(\frac{1}{6}V_{\text{hp}}\right)=V_{\text{hp}}-\frac{2}{3}V_{\text{hp}}=\frac{1}{3}V_{\text{hp}}$

$V_{A^{\prime }.ACD^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot 12a^{3}=4a^{3}$

• Kết quả: Thể tích khối $A'.ACD'$ bằng $4a^{3}$.

________________________________________

Bài 2:

Các bước giải chi tiết

1. Tính diện tích đáy $A'B'C'$ (hoặc đáy $ABC$):

o Đáy là tam giác đều có cạnh $x = a\sqrt{3}$.

o Diện tích tam giác đều được tính theo công thức:

$S_{\triangle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}=\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(a\sqrt{3})^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}$

2. Xác định chiều cao của lăng trụ:

o Vì đây là lăng trụ đứng nên các cạnh bên $AA', BB', CC'$ vuông góc với đáy.

o Góc giữa cạnh bên (hoặc mặt bên phẳng đứng) và mặt đáy chính là $60^{\circ }$ như đề bài mô tả (ở đây cụ thể là góc của các đường chéo mặt bên tạo với đáy, ví dụ $\widehat{A'BA} = 60^\circ$).

o Xét tam giác vuông $A'AB$ tại $A$:

$AA^{\prime }=AB\cdot \tan (60^{\circ })=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$

o Chiều cao lăng trụ $h = 3a$.

3. Tính thể tích khối chóp $M.A'B'C'$:

o Khối chóp $M.A'B'C'$ có đỉnh $M \in (ABC)$ và đáy là $(A'B'C')$.

o Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng đáy $(A'B'C')$ chính bằng chiều cao của lăng trụ: $d(M, (A'B'C')) = h = 3a$.

o Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:

$V_{M.A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}\right)\cdot 3a=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{4}$

• Kết quả: Thể tích của khối chóp $M.A'B'C'$ là $\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{4}$.

________________________________________

1) Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’ 2)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung đi...