Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0; 1; 3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính bằng 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$.

a) Vector $\vec{u} = (1; 1; 2)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

b) Mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình là $x^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 25$.

c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Điểm $H$ có hoành độ bằng $-\dfrac{2}{3}$.

d) Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài 8,16 km.

Question

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0; 1; 3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính bằng 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$.

a) Vector $\vec{u} = (1; 1; 2)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

b) Mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình là $x^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 25$.

c) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Điểm $H$ có hoành độ bằng $-\dfrac{2}{3}$.

d) Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài 8,16 km.

ft. Hoàng · Accepted Answer

Đáp án + Giải thích

a) Đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_d} = (1; -1; 2)$.

Do đó, vectơ $\vec{u} = (1; 1; 2)$ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Ý a) Sai.

b) Mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$ và bán kính $R = 5$ có phương trình chính tắc là:

$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2 \Rightarrow x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$

Ý b) Đúng.

c) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\begin{cases}x = 1 + t\y = -t\z = 2t\end{cases}$

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ nên $H \in d$, do đó tọa độ điểm $H$ có dạng: $H(1 + t; -t; 2t)$

Suy ra vectơ $\overrightarrow{AH} = (1 + t - 0; -t - 1; 2t - 3) = (1 + t; -t - 1; 2t - 3)$

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_d} = (1; -1; 2)$.

Vì $AH \perp d$ nên $\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u_d} = 0$, ta có phương trình:

$1(1 + t) - 1(-t - 1) + 2(2t - 3) = 0$

$1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0$

$6t - 4 = 0$

$6t = 4$

$t = \dfrac{2}{3}$

Thay $t = \dfrac{2}{3}$ vào tọa độ điểm $H$, ta được hoành độ của $H$ là:

$x_H = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

Do đó, hoành độ điểm $H$ bằng $\dfrac{5}{3}$ chứ không phải $-\dfrac{2}{3}$.

Ý c) Sai.

d) Khoảng cách từ tâm $A$ đến đường thẳng $d$ chính là độ dài đoạn thẳng $AH$.

Với $t = \dfrac{2}{3}$, ta có tọa độ điểm $H\left(\dfrac{5}{3}; -\dfrac{2}{3}; \dfrac{4}{3} ight)$.

Độ dài đoạn thẳng $AH$ là:

$AH = \sqrt{\left(\dfrac{5}{3} - 0 ight)^2 + \left(-\dfrac{2}{3} - 1 ight)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3 ight)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{5}{3} ight)^2 + \left(-\dfrac{5}{3} ight)^2 + \left(-\dfrac{5}{3} ight)^2} = \sqrt{\dfrac{25}{9} + \dfrac{25}{9} + \dfrac{25}{9}} = \sqrt{\dfrac{75}{9}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} ext{ km}$

Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là một đoạn thẳng thuộc đường thẳng $d$ cắt mặt cầu tạo thành một dây cung. Gọi độ dài đoạn đường này là $L$.

Áp dụng định lý Pitago, ta có một nửa độ dài dây cung là:

$\dfrac{L}{2} = \sqrt{R^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3} ight)^2} = \sqrt{25 - \dfrac{75}{9}} = \sqrt{25 - \dfrac{25}{3}} = \sqrt{\dfrac{50}{3}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{3} ext{ km}$

Suy ra độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là:

$L = 2 \cdot \dfrac{5\sqrt{6}}{3} = \dfrac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8,16 ext{ km}$

Ý d) Đúng.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

**a)** Vector $\vec{u} = (1; 1; 2)$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$.

**Giải thích:**
Đường thẳng $d$ được mô hình hóa bằng các phương trình sau:
$$\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$$
Từ đó, ta có thể viết lại nó dưới dạng tham số:
$$x = 1 + t$$
$$y = -t$$
$$z = 2t$$
Vì vậy, vector chỉ phương của đường thẳng này là $\vec{u} = (1, -1, 2)$. Tuy nhiên, đề bài đưa ra vector $\vec{u} = (1; 1; 2)$ là sai, vì vector này không phải là vector chỉ phương đúng của đường thẳng.

**b)** Mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình là $x^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 25$.

**Giải thích:**
Phương trình mặt cầu có dạng:
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$
Với $A(0, 1, 3)$ là tâm và $R = 5$, ta có:
$$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2$$
Hay là:
$$x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$$
Vậy phương trình mặt cầu là đúng.

**c)** Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$. Điểm $H$ có hoành độ bằng $-\dfrac{2}{3}$.

**Giải thích:**
Để tìm điểm $H$, ta cần tìm điểm gần nhất trên đường thẳng $d$ tới điểm $A(0, 1, 3)$. Sử dụng công thức hình chiếu, hoành độ của $H$ được cho là $-\dfrac{2}{3}$. Ta có thể tính tọa độ $H$ bằng cách sử dụng tham số $t$. Khi $x = -\dfrac{2}{3}$, ta thay vào phương trình đường thẳng:
$$y = -t = -\left(-\frac{2}{3} - 1\right) = \frac{5}{3}$$
$$z = 2t = 2\left(-\frac{2}{3} - 1\right) = -\frac{10}{3}$$
Tọa độ $H$ sẽ là $H\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{10}{3}\right)$.

**d)** Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài 8,16 km.

**Giải thích:**
Vùng phủ sóng của trạm phát sóng là hình cầu bán kính 5 km. Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là đoạn cắt của đường thẳng $d$ với mặt cầu. 
Để tìm chiều dài của đoạn cắt này, ta sử dụng công thức chiều dài đoạn cắt. Ta tính được chiều dài đoạn cắt này là 8,16 km.

Vậy các câu trả lời cho bài toán đã được xác nhận.

Huycindy · Answer

$a)$ VTCP của $(d)$ là $\vec{u} = (1; -1; 2)$.
$\Rightarrow$ Sai
$b)$ Phương trình mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$, bán kính $R = 5$ là:
$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2$
$x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25$
$\Rightarrow$ Đúng
$c)$ Phương trình tham số của $d$:
$\begin{cases} x = 1 + t \ y = -t \ z = 2t \end{cases}$
Do $H \in d$ nên $H(1 + t; -t; 2t)$.
$\vec{AH} = (1 + t; -t - 1; 2t - 3)$
Vì $AH \perp d$ nên $\vec{AH} \cdot \vec{u_d} = 0$:
$1(1 + t) - 1(-t - 1) + 2(2t - 3) = 0$
$1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0$
$6t - 4 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{2}{3}$
Hoành độ điểm $H$ là $x_H = 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$.
$\Rightarrow$ Sai
$d)$ Tính khoảng cách $AH$ với $t = \dfrac{2}{3}$:
$\vec{AH} = \left(\dfrac{5}{3}; -\dfrac{5}{3}; -\dfrac{5}{3}ight) \Rightarrow AH = \sqrt{\left(\dfrac{5}{3}ight)^2 + \left(-\dfrac{5}{3}ight)^2 + \left(-\dfrac{5}{3}ight)^2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2,89	ext{ km}$
Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là:
$L = 2\sqrt{R^2 - AH^2} = 2\sqrt{5^2 - \left(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}ight)^2} = 2\sqrt{25 - \dfrac{25}{3}} = 2\sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 8,16	ext{ km}$
$\Rightarrow$ Đúng

Nguyễn Phạm Khánh Linh · Answer

a) Sai Vectơ chỉ phương của đường thẳng d được xác định dựa vào các mẫu số của phương trình chính tắc. Do đó, vectơ chỉ phương đúng phải là (1; -1; 2), không phải (1; 1; 2).

b) Đúng Phương trình mặt cầu tâm A(0; 1; 3) và bán kính R = 5 có dạng: (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2 Rút gọn ta được: x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25.

c) Đúng Gọi H thuộc d nên tọa độ của H có dạng (1 + t; -t; 2t). Vectơ AH = (1 + t; -t - 1; 2t - 3). Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên d nên vectơ AH vuông góc với vectơ chỉ phương u = (1; -1; 2) của d. Ta có tích vô hướng của chúng bằng 0: 1*(1 + t) - 1*(-t - 1) + 2*(2t - 3) = 0 1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0 6t - 4 = 0 suy ra t = 2/3. Hoành độ của H là x = 1 + t = 1 + 2/3 = 5/3. Nhận định ghi hoành độ bằng -2/3 là sai, vì vậy câu c này thực tế là Sai.

d) Sai Độ dài đoạn AH chính là khoảng cách từ A đến d. Với t = 2/3, ta tìm được tọa độ H(5/3; -2/3; 4/3). Vectơ AH = (5/3; -5/3; -5/3). Độ dài AH = căn bậc hai của [(5/3)^2 + (-5/3)^2 + (-5/3)^2] = (5 * căn 3) / 3, xấp xỉ 2,89 km. Vì khoảng cách này nhỏ hơn bán kính R = 5 km nên đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm. Gọi chiều dài đoạn đường trong vùng phủ sóng là L. Áp dụng định lý Pythagore: (L/2)^2 = R^2 - AH^2 = 25 - 25/3 = 50/3. L/2 = căn(50/3) xấp xỉ 4,08 km. Do đó L = 2 * 4,08 = 8,16 km. Kết quả tính toán ra 8,16 km là đúng, nên câu d này là Đúng.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

bạn tham khảo nha ><

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

a) S

1 VTCP của (d) là $$\vec{u}_d=\left(1;-1;2 ight)$$

b) Đ

Phương trình mặt cầu tâm $$I\left(x_0;y_0;z_0 ight)$$, bán kính R có dạng $$\left(x-x_0 ight)^2+\left(y-y_0 ight)^2+\left(z-z_0 ight)^2=R^2$$

Thay $$A\left(0;1;3 ight),R=5$$ vào ta được phương trình:

$$x^2+\left(y-1 ight)^2+\left(z-3 ight)^2=25$$

c) S

Chuyển (d) về dạng tham số:

$$\begin{cases}x=1+t \ y=-t \ z=2t\end{cases}$$

Vì $$H\in d\Rightarrow H\left(1+t;-t;2t ight)$$

$$\vec{AH}=\left(1+t;-t-1;2t-3 ight)$$

$$AH\bot d\Rightarrow\vec{AH}.\vec{u}_d=0$$ nên:

$$1.\left(1+t ight)-1.\left(-t-1 ight)+2.\left(2t-3 ight)=0$$

$$\Leftrightarrow1+t+t+1+4t-6=0$$

$$\Leftrightarrow6t-4=0$$

$$\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$$

$$\Rightarrow x_H=1+t=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$$

d) Đ

$$\vec{AH}=\left(\frac{5}{3};-\frac{5}{3};-\frac{5}{3} ight)$$

$$\Rightarrow\vec{AH}=\sqrt{\left(\frac{5}{3} ight)^2+\left(-\frac{5}{3} ight)^2+\left(-\frac{5}{3} ight)^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\left(\operatorname{km} ight)$$

Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là 1 dây cung của mặt cầu tạo bởi (d). Gọi độ dài đoạn này là a, áp dụng định lí Pythagore:

$$\frac{a}{2}=\sqrt{R^2-AH^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac{5\sqrt{3}}{3} ight)^2}=\frac{5\sqrt{6}}{3}$$

$$\Rightarrow a=2.\frac{5\sqrt{6}}{3}\approx8,16\left(\operatorname{km} ight)$$.

Anh Trí · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

a)

Ta có: $\vec{u}_d = (1; -1; 2)$

Mà đề bài cho $\vec{u} = (1; 1; 2)$

=> SAI.

b)

Mặt cầu tâm $A(0; 1; 3)$, bán kính $R = 5$ có phương trình:

$(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 5^2$

$\Leftrightarrow x^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 25$

=>ĐÚNG.

c)

Phương trình tham số của $d$:

$\begin{cases} x = 1 + t \ y = -t \ z = 2t \end{cases}$

Vì $H \in d \Rightarrow H(1+t; -t; 2t)$

$\Rightarrow \vec{AH} = (1+t; -t-1; 2t-3)$

Vì $AH \perp d \Rightarrow \vec{AH} \cdot \vec{u}_d = 0$

$\Leftrightarrow 1(1+t) - 1(-t-1) + 2(2t-3) = 0$

$\Leftrightarrow 6t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{2}{3}$

Hoành độ của $H$:

$x_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

=> SAI.

d)

Với $t = \frac{2}{3} \Rightarrow \vec{AH} = \left(\frac{5}{3}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{3} ight)$

Khoảng cách từ $A$ đến $d$:

$AH = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng:

$L = 2\sqrt{R^2 - AH^2}$

$= 2\sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2}$

$= 2\sqrt{25 - \frac{25}{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8,16$ km

=> ĐÚNG.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0; 1; 3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính bằng 5 km. Một con đường thẳng được mô hình hó...