« CÂU HỎI Vật Lý · Lớp $12$ $...$ Bài 1: Cho dầm chịu lực như hình 1. Yêu cầu:,1. Vẽ các biểu đồ nội lực mô men uốn của dầm?,2. Xác định b theo điều kiện bền của dầm, biết $[\sigma]=90MN/m^2?$,

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

1) Hình vẽ ở dưới hình ảnh

2. Xác định kích thước $b$ theo điều kiện bền

Xác định mặt cắt nguy hiểm:

• Mô-men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối trên toàn bộ dầm nằm tại vị trí gối $B$:

$|M_{\max }|=|M_{B}|=61,6\text{ kNm}=61,6\times 10^{3}\text{ Nm}$

• Tại mặt cắt $B$, lực dọc bằng $0$ (do thành phần nằm ngang $P_{3x}$ truyền từ $D$ đến gối cố định $B$ thì bị triệt tiêu bởi phản lực liên kết gối), do đó dầm chịu uốn thuần túy tại vị trí này.

Đặc trưng hình học của mặt cắt chữ nhật ($b \times h$ với $h=2b$):

• Mô-men chống uốn $W_{z}$:

$W_{z}=\frac{b\cdot h^{2}}{6}=\frac{b\cdot (2b)^{2}}{6}=\frac{2}{3}b^{3}$

Áp dụng điều kiện bền:

$\sigma _{\max }=\frac{|M_{\max }|}{W_{z}}\le [\sigma ]$

Thay số với $[\sigma] = 90\text{ MN/m}^2 = 90 \times 10^6\text{ N/m}^2$:

$\frac{61,6\times 10^{3}}{\frac{2}{3}b^{3}}\le 90\times 10^{6}$

$\Leftrightarrow b^{3}\ge \frac{3\cdot 61,6\times 10^{3}}{2\cdot 90\times 10^{6}}\approx 1,0267\times 10^{-3}\text{ m}^{3}$

$\Leftrightarrow b\ge 0,10088\text{ m}\approx 10,09\text{ cm}$

Kết luận: Kích thước tối thiểu của bề rộng mặt cắt là $b = 10,09\text{ cm}$ (và chiều cao tương ứng $h = 2b = 20,18\text{ cm}$).

Timi · Answer

Cho dầm chịu lực như hình vẽ, ta có các dữ liệu sau:

- Chiều dài các nhịp: $AB = 4\,m$, $BC = 3\,m$
- Lực tập trung: $P = 20\,kN$ đặt tại $B$
- Lực phân bố đều: $q = 5\,kN/m$ trên nhịp $BC$
- Mômen quán tính $I$ và chiều cao dầm $h$ chưa cho, cần xét

---

**Bài toán yêu cầu:**

1. Vẽ biểu đồ nội lực mô men uốn $M(x)$ trên dầm.

2. Xác định b (chiều rộng mặt đáy dầm) theo điều kiện bền, biết $\sigma_{max} = [\sigma] = 90\,MPa = 90 	imes 10^6\,Pa$.

---

### 1. Xác định phản lực ở các mút

Giả sử dầm có hai gối tựa ở $A$ và $C$.

Gọi phản lực tại $A$ là $R_A$, tại $C$ là $R_C$.

Tổng chiều dài dầm: $L = 4 + 3 = 7\,m$.

Tổng tải trọng:

- Lực tập trung tại $B$: $P = 20\,kN$

- Lực phân bố đều trên $BC$: $q = 5\,kN/m$ trên $3\,m$ nên tổng tải: $Q = 5 	imes 3 = 15\,kN$

Tổng lực toàn dầm:

$$
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_C = P + Q = 20 + 15 = 35\,kN
$$

Tính momen tại $A$:

- Momen do $P$ tại $B$ cách $A$ là $4\,m$:

$$
M_{P} = 20 	imes 4 = 80\,kN.m
$$

- Momen do $q$ trên đoạn $BC$ tác dụng tại trung điểm của nhịp $BC$ (tại $B + 1.5\,m = 5.5\,m$ từ $A$):

$$
M_{Q} = 15 	imes 5.5 = 82.5\,kN.m
$$

Cân bằng momen quanh $A$:

$$
\sum M_A = 0 \Rightarrow R_C 	imes 7 = M_{P} + M_{Q} = 80 + 82.5 = 162.5\,kN.m
$$

Suy ra:

$$
R_C = \frac{162.5}{7} \approx 23.21\,kN
$$

Từ tổng lực:

$$
R_A = 35 - 23.21 = 11.79\,kN
$$

---

### 2. Vẽ biểu đồ mô men uốn

- Đoạn $AB$: từ $A$ đến $B$ có lực tập trung $P$ tại $B$.

- Đoạn $BC$: có tải trọng phân bố đều $q$.

**Tính nội lực cắt $V(x)$ và mô men $M(x)$:**

- $0 \leq x \leq 4$ (đoạn $AB$):

Tại vị trí $x$ từ $A$:

- Lực cắt: $V = R_A = 11.79\,kN$ (không có tải trọng phân bố trên đoạn này)

- Mô men:

$$
M(x) = R_A \cdot x = 11.79 x \quad (kN.m)
$$

Tại $x = 4\,m$:

$$
M(4) = 11.79 	imes 4 = 47.16\,kN.m
$$

- Đoạn $4 < x \leq 7$ (đoạn $BC$):

Tại vị trí $x$ từ $A$ (nhớ $x$ tính từ $A$):

Lực cắt:

$$
V(x) = R_A - P - q(x - 4) = 11.79 - 20 - 5(x - 4) = -8.21 - 5(x - 4)
$$

Mô men:

$$
M(x) = M(4) + V_{trung_binh} 	imes (x - 4) - 	ext{tích phân tải trọng phân bố}
$$

Cách đơn giản hơn:

Cân bằng mô men tại $x$:

$$
M(x) = R_A \cdot x - P (x - 4) - q \cdot \frac{(x - 4)^2}{2}
$$

Tại $x=7$:

$$
M(7) = 11.79 	imes 7 - 20 	imes 3 - 5 	imes \frac{3^2}{2} = 82.53 - 60 - 22.5 = 0.03\,kN.m \approx 0
$$

(Đây là đúng vì tại điểm tựa $C$ mô men bằng 0).

---

### 3. Xác định mô men cực đại

Mô men cực đại thường xuất hiện ở điểm trong khoảng giữa, kiểm tra vị trí cực đại mô men trên dầm.

Ta xét trên đoạn $BC$, tìm $x$ sao cho $M&#x27;(x) = 0$, nghĩa là lực cắt bằng 0:

$$
V(x) = \frac{dM}{dx} = 0
$$

Trên đoạn $BC$:

$$
V(x) = R_A - P - q (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 4 + \frac{R_A - P}{q} = 4 + \frac{11.79 - 20}{5} = 4 - 1.64 = 2.36\,m
$$

Nhưng $2.36\,m < 4\,m$, nằm ngoài đoạn $BC$, nên mô men cực đại không nằm trong đoạn $BC$.

Trên đoạn $AB$:

Lực cắt không đổi là 11.79 kN, không có điểm lực cắt bằng 0, nên mô men cực đại tại $B$ hoặc $C$.

Mô men tại $B$ là:

$$
M(4) = 47.16\,kN.m
$$

Mô men tại $C$ bằng 0.

Vậy mô men cực đại $M_{max} = 47.16\,kN.m$ tại $x=4\,m$.

---

### 4. Xác định b theo điều kiện bền

Mô men uốn lớn nhất là $M_{max} = 47.16\,kN.m = 47.16 	imes 10^3\,N.m$

Chiều cao dầm $h = 40\,cm = 0.4\,m$ (giá trị từ hình vẽ).

Điều kiện bền theo ứng suất:

$$
\sigma_{max} = \frac{M_{max} c}{I} \leq [\sigma]
$$

Với:

- $c = \frac{h}{2} = 0.2\,m$

- Mômen quán tính mặt cắt chữ nhật:

$$
I = \frac{b h^3}{12}
$$

Thay vào công thức ứng suất:

$$
\sigma_{max} = \frac{M_{max} c}{I} = \frac{M_{max} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{b h^3}{12}} = \frac{M_{max} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{b h^3}{12}} = \frac{6 M_{max}}{b h^2}
$$

Suy ra:

$$
b = \frac{6 M_{max}}{\sigma_{max} h^2}
$$

Thay số:

- $M_{max} = 47.16 	imes 10^3\,N.m = 47.16 	imes 10^3\,N \cdot m$

- $\sigma_{max} = 90 	imes 10^6\,Pa$

- $h = 0.4\,m$

Tính:

$$
b = \frac{6 	imes 47.16 	imes 10^3}{90 	imes 10^6 	imes (0.4)^2} = \frac{282.96 	imes 10^3}{90 	imes 10^6 	imes 0.16} = \frac{282.96 	imes 10^3}{14.4 	imes 10^6} = \frac{282.96}{14400} \approx 0.01966\,m = 1.97\,cm
$$

---

### **Kết luận:**

- Mô men cực đại trên dầm là $M_{max} = 47.16\,kN.m$ tại $x=4\,m$.

- Chiều rộng mặt đáy dầm $b$ để đảm bảo bền theo ứng suất là:

$$
\boxed{
b \approx 2\,cm
}
$$

---

### **Biểu đồ mô men uốn:**

- Từ $0$ đến $4\,m$: $M(x) = 11.79 x$ (đường thẳng tăng dần).

- Từ $4$ đến $7\,m$:

$$
M(x) = 11.79 x - 20 (x-4) - 5 \frac{(x-4)^2}{2}
$$

Đường cong parabol, giảm từ $47.16\,kN.m$ về $0$ tại $x=7\,m$.

---

Nếu cần, thầy có thể hướng dẫn thêm cách vẽ biểu đồ chính xác hơn.

廴ｌｉｚ ͜✿҈ · Answer