Giúp mình với! Bài 1,Một vật dao động điều hòa theo phương trình:,$x=8\cos(4\pi t+\frac\pi3)(cm)$,a) Xác định biên độ, tần số góc, chu kì và tần số.,b) Tính li độ, vận tốc của vật tại $t=\frac1{12}s.$,c) Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.,Bài 2,Một vật dao động điều hòa với biên độ $A=10~cm.$ chu kì $T=0,4s.$,a) Tính tần số góc của dao động.,b) Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại.,c) Khi vật có li độ $x=6~cm,$ hãy tính vận tốc và gia tốc của vật.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

Đáp án + Giải thích:

Bài 1

Một vật dao động điều hòa theo phương trình: $x = 8\cos\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3} ight) ext{ (cm)}$

a) Biên độ dao động là $A = 8 ext{ cm}$.

Tần số góc của dao động là $\omega = 4\pi ext{ rad/s}$.

Chu kì dao động là $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{4\pi} = 0,5 ext{ s}$.

Tần số dao động là $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0,5} = 2 ext{ Hz}$.

b) Thay $t = \dfrac{1}{12} ext{ s}$ vào phương trình li độ ta được: $x = 8\cos\left(4\pi \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{\pi}{3} ight) = 8\cos\left(\dfrac{2\pi}{3} ight) = -4 ext{ cm}$.

Phương trình vận tốc của vật là: $v = x' = -8 \cdot 4\pi\sin\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3} ight) = -32\pi\sin\left(4\pi t + \dfrac{\pi}{3} ight) ext{ (cm/s)}$.

Thay $t = \dfrac{1}{12} ext{ s}$ vào phương trình vận tốc ta được: $v = -32\pi\sin\left(4\pi \cdot \dfrac{1}{12} + \dfrac{\pi}{3} ight) = -32\pi\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} ight) = -16\pi\sqrt{3} ext{ cm/s}$.

c) Vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương nghĩa là $x = 0$ và $v > 0$.

Từ $x = 0 \Rightarrow 4\pi t + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi ext{ (}k \in \mathbb{Z} ext{)}$. Vì $v > 0$ nên pha dao động phải âm, do đó: $4\pi t + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Rightarrow 4\pi t = -\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \Rightarrow t = -\dfrac{5}{24} + \dfrac{k}{2} ext{ (}k \in \mathbb{Z} ext{)}$.

Thời điểm đầu tiên ứng với $k = 1 \Rightarrow t = -\dfrac{5}{24} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{24} ext{ s}$.

Bài 2

Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 10 ext{ cm}$, chu kì $T = 0,4 ext{ s}$.

a) Tần số góc của dao động được tính theo công thức: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0,4} = 5\pi ext{ rad/s}$.

b) Vận tốc cực đại của vật là: $v_{\max} = \omega A = 5\pi \cdot 10 = 50\pi ext{ cm/s}$.

Gia tốc cực đại của vật là: $a_{\max} = \omega^2 A = (5\pi)^2 \cdot 10 = 250\pi^2 ext{ cm/s}^2$.

c) Áp dụng công thức độc lập với thời gian giữa li độ và vận tốc: $\dfrac{x^2}{A^2} + \dfrac{v^2}{v_{\max}^2} = 1 \Rightarrow v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2} = \pm 5\pi\sqrt{10^2 - 6^2} = \pm 40\pi ext{ cm/s}$.

Gia tốc của vật liên hệ với li độ qua công thức: $a = -\omega^2 x = -(5\pi)^2 \cdot 6 = -150\pi^2 ext{ cm/s}^2$.

Timi · Answer

Bài 1:

Phương trình dao động: 
$$
x = 8 \cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \quad (cm)
$$

a) Xác định các đại lượng:

- Biên độ $A = 8 \, cm$
- Tần số góc $\omega = 4\pi \, (rad/s)$
- Chu kì: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} \, s = 0.5\, s$
- Tần số: $f = \frac{1}{T} = 2 \, Hz$

b) Tính li độ và vận tốc tại $t = \frac{1}{12} s$:

- Li độ:
$$
x = 8 \cos\left(4\pi \cdot \frac{1}{12} + \frac{\pi}{3}\right) = 8 \cos\left(\frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{3}\right) = 8 \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)
$$

Ta có $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, nên:
$$
x = 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 \, cm
$$

- Vận tốc:
$$
v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) = -8 \times 4\pi \sin\left(4\pi \cdot \frac{1}{12} + \frac{\pi}{3}\right)
$$

Tính $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, nên:
$$
v = -32\pi \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -16\pi \sqrt{3} \, cm/s
$$

Số thập phân:
$$
16\pi \sqrt{3} \approx 16 \times 3.1416 \times 1.732 = 87.0 \, cm/s
$$

Vận tốc:
$$
v \approx -87.0 \, cm/s
$$

c) Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương:

Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x=0$, tức:
$$
\cos(\omega t + \varphi) = 0 \implies \omega t + \varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Tìm $t$ nhỏ nhất dương thỏa mãn:
$$
4\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \implies 4\pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
$$

$$
t = \frac{\pi/6}{4\pi} = \frac{1}{24} s \approx 0.0417 s
$$

Khi đó đạo hàm $\frac{dx}{dt} > 0$ (vận tốc dương) nên vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

---

Bài 2:

Dữ liệu: 
$$
A = 10 \, cm = 0.1 \, m, \quad T = 0.4 s
$$

a) Tần số góc:
$$
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, rad/s \approx 15.708 \, rad/s
$$

b) Vận tốc cực đại và gia tốc cực đại:

- Vận tốc cực đại:
$$
v_{max} = A \omega = 0.1 \times 15.708 = 1.5708 \, m/s
$$

- Gia tốc cực đại:
$$
a_{max} = A \omega^2 = 0.1 \times (15.708)^2 = 0.1 \times 246.74 = 24.674 \, m/s^2
$$

c) Khi $x=6 cm = 0.06 m$, tính vận tốc và gia tốc:

- Vận tốc:
$$
v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} = \pm 15.708 \times \sqrt{0.1^2 - 0.06^2} = \pm 15.708 \times \sqrt{0.01 - 0.0036} = \pm 15.708 \times \sqrt{0.0064}
$$

$$
= \pm 15.708 \times 0.08 = \pm 1.257 \, m/s
$$

- Gia tốc:
$$
a = -\omega^2 x = - (15.708)^2 \times 0.06 = -246.74 \times 0.06 = -14.804 \, m/s^2
$$

---

**Tóm tắt đáp án:**

**Bài 1:**

a) $A=8 cm$, $\omega = 4\pi rad/s$, $T=0.5 s$, $f=2 Hz$

b) $x = -4 cm$, $v \approx -87 cm/s$

c) Thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương đầu tiên: $t = \frac{1}{24} s \approx 0.0417 s$

---

**Bài 2:**

a) $\omega = 5\pi \approx 15.708 rad/s$

b) $v_{max} = 1.57 m/s$, $a_{max} = 24.67 m/s^2$

c) Khi $x=6 cm$, $v = \pm 1.26 m/s$, $a = -14.8 m/s^2$