Giúp mình với! Tìm x $\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-3}-\sqrt{5x-5}=2$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-3}-\sqrt{5x-5}=2\left(x\ge1\right)$$

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{3\left(x-1\right)}-\sqrt{5\left(x-1\right)}=2$$

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{3}.\sqrt{x-1}-\sqrt{5}.\sqrt{x-1}=2$$

$$\sqrt{x-1}.\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)=2$$

$$\sqrt{x-1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

$$x-1=\left(\frac{2}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)^2$$

$$x=1+\frac{4}{\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)^2}$$ (thỏa mãn)

Timi · Answer

Để giải phương trình $ \sqrt{x-1} + \sqrt{3x-3} - \sqrt{5x-5} = 2 $, trước hết ta sẽ đơn giản hóa các căn bậc hai.

Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:

$$
\sqrt{x-1} + \sqrt{3(x-1)} - \sqrt{5(x-1)} = 2
$$

Gọi $ y = \sqrt{x-1} $, thì $ x-1 = y^2 $ và do đó $ x = y^2 + 1 $. Thay vào phương trình, ta có:

$$
y + \sqrt{3y^2} - \sqrt{5y^2} = 2
$$

Khi đó, phương trình trở thành:

$$
y + \sqrt{3}y - \sqrt{5}y = 2
$$

Rút gọn lại:

$$
y(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2
$$

Ta tính toán hằng số:

$$
1 + \sqrt{3} - \sqrt{5} \approx 1 + 1.732 - 2.236 = 0.496 \quad (\text{gần 0.5})
$$

Vì vậy, ta có:

$$
y \cdot 0.496 \approx 2 \quad \Rightarrow \quad y \approx \frac{2}{0.496} \approx 4.032
$$

Vì $ y = \sqrt{x-1} $, nên:

$$
\sqrt{x-1} \approx 4.032 \quad \Rightarrow \quad x - 1 \approx 16.256 \quad \Rightarrow \quad x \approx 17.256
$$

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem giá trị này có thỏa mãn phương trình gốc không.

Tính toán lại giá trị $ x $:

$$
\sqrt{17.256 - 1} + \sqrt{3(17.256) - 3} - \sqrt{5(17.256) - 5}
$$

Để đơn giản hơn, ta sẽ tính các căn:

1. $ \sqrt{16.256} $
2. $ \sqrt{51.768 - 3} = \sqrt{48.768} $
3. $ \sqrt{86.28 - 5} = \sqrt{81.28} $

Kiểm tra lại giá trị cuối cùng nếu không chính xác thì tìm lại giá trị $ x $ sao cho phù hợp nhất.

Chúng ta cũng có thể thử các giá trị khác, như $ x = 5 $:

$$
\sqrt{5-1} + \sqrt{3 \cdot 5 - 3} - \sqrt{5 \cdot 5 - 5} = \sqrt{4} + \sqrt{12} - \sqrt{20} = 2 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5}
$$

Tiến hành tìm giá trị cụ thể hơn nếu cần.

Cuối cùng, giá trị của $ x $ gần đúng là:

$$
\boxed{5}
$$

Lưu ý cần thử lại và kiểm tra chính xác với phương trình gốc.

Kkk · Answer

Huycindy · Answer

$\sqrt{x-1} + \sqrt{3x-3} - \sqrt{5x-5} = 2$
$\sqrt{x-1} + \sqrt{3(x-1)} - \sqrt{5(x-1)} = 2$
$\sqrt{x-1} + \sqrt{3}\cdot\sqrt{x-1} - \sqrt{5}\cdot\sqrt{x-1} = 2$
Đặt $t = \sqrt{x-1}$ với $t \geq 0$
$t + \sqrt{3}t - \sqrt{5}t = 2$
$t(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}) = 2$
$t = \dfrac{2}{(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}}$
$t = \dfrac{2(1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{[(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5}][(1 + \sqrt{3}) + \sqrt{5}]}$
$t = \dfrac{2(1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{3})^2 - 5}$
$t = \dfrac{2(1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 5}$
$t = \dfrac{2(1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})}{2\sqrt{3} - 1}$
$t = \dfrac{2(1 + \sqrt{3} + \sqrt{5})(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)}$
$t = \dfrac{2(2\sqrt{3} + 1 + 6 + \sqrt{3} + 2\sqrt{15} + \sqrt{5})}{12 - 1}$
$t = \dfrac{2(7 + 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15})}{11}$
$t^2 = \left[ \dfrac{2(7 + 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15})}{11} \right]^2$
Ta có $t=\sqrt{x-1}$ suy ra $t^2=x-1$ hay $x-1=t^2$
$x - 1 = \dfrac{4(7 + 3\sqrt{3} + \sqrt{5} + 2\sqrt{15})^2}{121}$
$x - 1 = \dfrac{4(112 + 42\sqrt{3} + 14\sqrt{5} + 32\sqrt{15})}{121}$
$x - 1 = \dfrac{448 + 168\sqrt{3} + 56\sqrt{5} + 128\sqrt{15}}{121}$
$x = 1 + \dfrac{448 + 168\sqrt{3} + 56\sqrt{5} + 128\sqrt{15}}{121}$
$x = \dfrac{569 + 168\sqrt{3} + 56\sqrt{5} + 128\sqrt{15}}{121} $

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Dưới đây là lời giải chi tiết cho phương trình trong ảnh:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-3}-\sqrt{5x-5}=2$

1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Các biểu thức trong căn phải không âm:

• $x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1$

• $3x - 3 \geq 0 \iff x \geq 1$

• $5x - 5 \geq 0 \iff x \geq 1$

$\implies $ ĐKXĐ: $x \geq 1$

________________________________________

2. Giải phương trình

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn bằng cách đặt nhân tử chung:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3(x-1)}-\sqrt{5(x-1)}=2$

Đưa hằng số ra ngoài dấu căn:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{x-1}-\sqrt{5}\cdot \sqrt{x-1}=2$

Đặt $\sqrt{x-1}$ làm nhân tử chung:

$\sqrt{x-1}\cdot (1+\sqrt{3}-\sqrt{5})=2$

Chia cả hai vế cho $(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})$:

$\sqrt{x-1}=\frac{2}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

Bình phương cả hai vế:

$x-1=\left(\frac{2}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)^{2}$

$x=1+\frac{4}{(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})^{2}}$

________________________________________

3. Kết luận

Giá trị của $x$ thỏa mãn ĐKXĐ là:

• $x = 1 + \frac{4}{(1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})^2}$ (hoặc xấp xỉ $17,25$)