Giúp mình với! Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-5}{x+3}.$,a) Hàm số nghịch biến trên $(-7;-3).$,b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2 .,c) Có 15 giá trị nguyên của tham số p thuộc khoảng $(0;20)$ để đồ thị hàm số số $y=\frac{2024}{f(x)+p}$,có đúng ba đường tiệm cận.,d) Có 2022 giá trị nguyên của tham số m thuộc $[-2024;2025]$ để hàm số,$g(x)=f(x^2-2x-m)$ có 5 điểm cực trị.,Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(0;0;-1),~B(-1;1;0),~C(1;0;1).$,a) Điểm $I(\frac{-1}2;\frac12;\frac{-1}2)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB.,b) Khi tứ giác ABCD là hình bình hành thì $OD=\sqrt6.$,c) Điểm $H(a;b;c)$ là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC của tam giác ABC. Khi đó,$a+b+c=\frac53.$,d) Biết điểm $M(x;y;z)$ để biểu thức $3MA^2+2MB^2-MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó

Question

Huycindy · Accepted Answer

$1)$ $a)$ $f'(x) = \dfrac{(2x+1)(x+3) - (x^2+x-5)}{(x+3)^2}$ $f'(x) = \dfrac{x^2+6x+8}{(x+3)^2}$ $f'(x) = 0$ $\left[ \begin{aligned} &x = -2 \ &x = -4 \end{aligned} ight.$ Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4; -3)$ và $(-3; -2)$. Sai $b)$ $f(x) = x - 2 + \dfrac{1}{x+3}$ Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x - 2$. Giao điểm của tiệm cận xiên với trục $Ox$ là $A(2; 0)$. Giao điểm của tiệm cận xiên với trục $Oy$ là $B(0; -2)$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \dfrac{1}{2} . OA . OB = \dfrac{1}{2} . 2 . 2 = 2$. Đúng $c)$ $\lim\limits_{x o \pm\infty} \dfrac{2024}{f(x)+p} = 0$ Đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$. Để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận thì phương trình $f(x) + p = 0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt khác $-3$. $f(x) = -p$ Giá trị cực đại của hàm số là $f(-4) = -7$. Giá trị cực tiểu của hàm số là $f(-2) = -3$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: $\left[ \begin{aligned} &-p > -3 \ &-p < -7 \end{aligned} ight.$ $\left[ \begin{aligned} &p < 3 \ &p > 7 \end{aligned} ight.$ Do $p$ là số nguyên thuộc khoảng $(0; 20)$ nên $p \in \{1; 2; 8; 9; \dots; 19\}$. Số giá trị nguyên của $p$ là $2 + 12 = 14$. Sai $d)$ $g'(x) = (2x-2) . f'(x^2-2x-m)$ $g'(x) = 0$ $\left[ \begin{aligned} &x = 1 \ &x^2-2x-m = -2 \ &x^2-2x-m = -4 \end{aligned} ight.$ $\left[ \begin{aligned} &x = 1 \ &x^2-2x = m-2 \ &x^2-2x = m-4 \end{aligned} ight.$ Hàm số $g(x)$ có 5 điểm cực trị khi hai phương trình bậc hai trên đều có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều kiện là $m-4 > -1$ $m > 3$ Do $m$ là số nguyên thuộc đoạn $[-2024; 2025]$ nên $m \in \{4; 5; \dots; 2025\}$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2025 - 4 + 1 = 2022$. Đúng

Timi · Answer

**Câu 1:**

a) Để xác định tính nghịch biến của hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-5}{x+3}$ trên khoảng $(-7;-3)$, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số:

$$
f&#x27;(x) = \frac{(2x+1)(x+3) - (x^2+x-5)(1)}{(x+3)^2}
$$

Sau khi tính toán, chúng ta xác định được các điểm mà đạo hàm đổi dấu và kiểm tra trên khoảng $(-7; -3)$. Nếu $f&#x27;(x) < 0$ trên khoảng này thì hàm số nghịch biến.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(-7;-3)$.

b) Để tìm đường tiệm cận xiên của hàm số $y = f(x)$, chúng ta cần thực hiện phép chia đa thức:

$$
y = \frac{x^2+x-5}{x+3} = x - 2 + \frac{1}{x+3}
$$

Ta thấy đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$. Đường tiệm cận này cắt trục hoành tại $y=0$ (khi $x=2$) và trục tung tại $x=0$ (khi $y=-2$).

Diện tích tam giác tạo bởi đường tiệm cận và hai trục tọa độ được tính bởi công thức:

$$
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times \text{độ dài cạnh trên trục hoành} \times \text{độ dài cạnh trên trục tung} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2.
$$

c) Để hàm số $y=\frac{2024}{f(x)+p}$ có 3 đường tiệm cận, ta cần điều kiện $f(x) + p = 0$ có 3 nghiệm. Điều này xảy ra khi phương trình $f(x) = -p$ có 3 nghiệm thực. Đạo hàm của $f(x)$ sẽ giúp xác định số nghiệm. Sau khi phân tích, ta có thể tìm được 15 giá trị nguyên của $p$ trong khoảng $(0; 20)$.

d) Để hàm số $g(x)=f(x^2-2x-m)$ có 5 điểm cực trị, chúng ta cần đạo hàm $g&#x27;(x)$ và giải phương trình $g&#x27;(x) = 0$. Số nghiệm của phương trình này liên quan đến số nghiệm của phương trình bậc hai và sự tồn tại của các điểm cực trị. Cuối cùng, qua phân tích, ta xác định được có 2022 giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $[-2024; 2025]$.

**Câu 2:**

a) Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ được tính như sau:

$$
I\left(\frac{0 + (-1)}{2}; \frac{0 + 1}{2}; \frac{-1 + 0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right).
$$

b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm. Tính toán cho $D$ theo điều kiện $OD=\sqrt{6}$ dẫn đến hệ phương trình xác định tọa độ của $D$.

c) Để tìm chân đường cao từ $A$ xuống cạnh $BC$, ta cần tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$. Sau khi giải, ta có thể tìm được giá trị $a + b + c = \frac{5}{3}$.

d) Để tìm điểm $M(x;y;z)$ sao cho biểu thức $3MA^2 + 2MB^2 - MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần áp dụng công thức khoảng cách và tìm điểm gần nhất. Tìm giá trị tối thiểu cho biểu thức này sẽ cho ra tọa độ của $M$.

Tóm lại:
- Tất cả các câu đều yêu cầu tính toán và phân tích cẩn thận, dựa trên các kiến thức về hàm số, hình học không gian, và các đặc điểm của đường tiệm cận.