Giúp mình với! Câu 3. Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách 300 km để,tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng,yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cả trong t giờ cho bởi công thức,$E(v)=cv^3t$ trong đó c là hằng số trước. E tính hằng Jun. Tính vận tốc bơi của cả khi,nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất?

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần xác định vận tốc bơi của cá hồi $v$ khi nước đứng yên sao cho năng lượng tiêu hao $E(v) = cv^3t$ là nhỏ nhất.

1. **Xác định vận tốc tương đối**: Khi cá bơi ngược dòng, vận tốc hiệu quả của cá so với bờ là $v - 6$ km/h, vì dòng nước chảy ngược lại.

2. **Thời gian bơi**: Để tính thời gian cá bơi 300 km, ta sử dụng công thức thời gian:
   $$
   t = \frac{\text{quá trình}}{\text{vận tốc}} = \frac{300}{v - 6}
   $$

3. **Thay thế vào công thức năng lượng**: Bây giờ ta thay $t$ vào công thức năng lượng:
   $$
   E(v) = cv^3 \cdot \frac{300}{v - 6} = \frac{300cv^3}{v - 6}
   $$

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất**: Để tìm giá trị nhỏ nhất của $E(v)$, ta cần tính đạo hàm của $E(v)$ theo $v$ và giải phương trình $E&#x27;(v) = 0$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm, ta có:
   $$
   E&#x27;(v) = \frac{(v - 6) \cdot (900cv^2) - 300cv^3}{(v - 6)^2}
   $$
   $$
   E&#x27;(v) = \frac{900cv^2(v - 6) - 300cv^3}{(v - 6)^2} = \frac{300cv^2(3(v - 6) - v)}{(v - 6)^2}
   $$
   $$
   E&#x27;(v) = \frac{300cv^2(2v - 18)}{(v - 6)^2}
   $$

Để $E&#x27;(v) = 0$, ta có:
   $$
   300cv^2(2v - 18) = 0
   $$

Giải phương trình này, ta có hai nghiệm:
   - $v^2 = 0 \Rightarrow v = 0$ (không hợp lệ)
   - $2v - 18 = 0 \Rightarrow v = 9$

5. **Xác định vận tốc tối ưu**: Ta kiểm tra điều kiện để xác nhận rằng $v = 9$ là điểm cực tiểu. Tính đạo hàm bậc hai $E&#x27;&#x27;(v)$ và kiểm tra dấu của nó tại $v = 9$. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta có thể thấy rằng nếu $v < 6$ thì cá không thể bơi ngược dòng, do đó $v = 9$ là vận tốc tối ưu.

Vậy vận tốc bơi của cá hồi khi nước đứng yên để tiêu hao năng lượng ít nhất là:
$$
\boxed{9 \text{ km/h}}
$$