Giải chi tiết câu này

Câu 1 (2,0 điểm). **Bài toán:** - Chị Mai đi từ A đến B (quãng đường AB = 20 km) lúc 6 giờ, khi đến B quay về A với tốc độ như lúc đi. - Chị Mai về đến A lúc 7 giờ 20 phút. - Cùng lúc 6 giờ, anh Bình đi từ B đến A với tốc độ bằng tốc độ của chị Mai, khi đến A quay về B với tốc độ như lúc đi. - Hai người đi ngược chiều, hỏi: a) Tính tốc độ của chị Mai và anh Bình, xác định vị trí hai người gặp nhau lúc đi và lúc về. b) Một hôm chị Mai đến B phải xử lý hàng nên về muộn, trên đường về chị Mai đi nhanh hơn và gặp anh Bình đúng chỗ như mọi hôm. Thời gian về của hai người hơn kém nhau 5 phút. Tính tốc độ về của chị Mai ngày hôm đó. --- ### a) Tính tốc độ và vị trí gặp nhau lúc đi và lúc về **Bước 1: Tính tốc độ của chị Mai** - Thời gian chị Mai đi từ A đến B: Giả sử vận tốc khi đi và về đều là \(v\) (km/h). - Chị Mai đi từ A đến B với vận tốc \(v\) → thời gian đi: \(\displaystyle t_{đi} = \frac{20}{v}\) (giờ) - Chị Mai về từ B đến A với vận tốc \(v\) → thời gian về: \(\displaystyle t_{về} = \frac{20}{v}\) - Tổng thời gian: \(t_{tổng} = t_{đi} + t_{về} = \frac{20}{v} + \frac{20}{v} = \frac{40}{v}\) - Thời gian chị Mai đi từ 6 giờ đến 7 giờ 20 phút = 1 giờ 20 phút = \(\frac{4}{3}\) giờ. Suy ra: \[ \frac{40}{v} = \frac{4}{3} \Rightarrow v = \frac{40 \times 3}{4} = 30 \text{ km/h} \] Vậy vận tốc của chị Mai và anh Bình là 30 km/h. --- **Bước 2: Xác định vị trí hai người gặp nhau lúc đi** - Lúc đi, chị Mai đi từ A đến B, anh Bình đi từ B đến A, cùng lúc 6 giờ. - Vận tốc mỗi người là 30 km/h, chuyển động ngược chiều nhau trên đoạn 20 km. - Tính thời gian để gặp nhau khi đi: \[ \text{Thời gian gặp nhau } t_1 = \frac{\text{quãng đường}}{\text{tổng vận tốc}} = \frac{20}{30 + 30} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ giờ} = 20 \text{ phút} \] - Vị trí gặp nhau tính từ A: \[ d_1 = v_{chị Mai} \times t_1 = 30 \times \frac{1}{3} = 10 \text{ km} \] Vậy lúc đi, họ gặp nhau cách A 10 km, tức là ngay giữa đường. --- **Bước 3: Xác định vị trí hai người gặp nhau lúc về** - Lúc về, chị Mai đi từ B về A, vận tốc 30 km/h. - Anh Bình đi từ A về B, vận tốc 30 km/h. - Quãng đường vẫn 20 km, hai người đi ngược chiều, xuất phát cùng lúc khi về. - Thời gian gặp nhau lúc về: \[ t_2 = \frac{20}{30 + 30} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ giờ} = 20 \text{ phút} \] - Vị trí gặp nhau tính từ A: Anh Bình về B, xuất phát từ A lúc về. \[ d_2 = v_{anh Bình} \times t_2 = 30 \times \frac{1}{3} = 10 \text{ km} \] Vậy lúc về họ cũng gặp nhau tại điểm cách A 10 km. --- ### b) Tính tốc độ về của chị Mai ngày hôm đó - Chị Mai đến B phải xử lý hàng một thời gian, sau đó về với tốc độ \(v'\) (km/h). - Trên đường về chị Mai đi nhanh hơn (tức \(v' > 30\) km/h). - Trong khi đó anh Bình vẫn đi theo lịch trình cũ (đi từ B đến A lúc 6 giờ, tốc độ 30 km/h, khi đến A quay về B với tốc độ 30 km/h). - Hai người gặp nhau ở đúng vị trí cũ (cách A 10 km) trên đường về. - Thời điểm về của chị Mai đến A và anh Bình về đến B chênh lệch 5 phút. --- **Phân tích bài toán:** - Gọi: - \(t_x\) là thời gian chị Mai ở lại B (đơn vị: giờ). - \(v' > 30\) là vận tốc chị Mai về. - Chị Mai: - Thời gian đi từ A đến B: \(\frac{20}{30} = \frac{2}{3}\) giờ = 40 phút. - Thời gian xử lý ở B: \(t_x\). - Thời gian về: \(\frac{20}{v'}\) giờ. - Anh Bình: - Lúc 6h từ B đi A với vận tốc 30 km/h. - Khi đến A quay về B với vận tốc 30 km/h. - Hai người gặp nhau trên đường về tại điểm cách A 10 km. --- **Tính thời gian gặp nhau lúc về** - Chị Mai về từ B lúc thời điểm: \[ t_{start, chị Mai về} = 6 + \frac{2}{3} + t_x = 6 + \frac{2}{3} + t_x \text{ giờ} \] - Gọi \(t_{gặp}\) là thời gian tính từ lúc chị Mai bắt đầu về đến lúc gặp anh Bình. - Thời gian chị Mai về đến vị trí gặp nhau là: \[ t_{gặp} = \frac{\text{quãng đường từ B đến điểm gặp}}{\text{vận tốc chị Mai}} = \frac{20 - 10}{v'} = \frac{10}{v'} \] - Vậy thời gian từ 6 giờ đến lúc gặp nhau của chị Mai: \[ T_{chị Mai} = \frac{2}{3} + t_x + t_{gặp} = \frac{2}{3} + t_x + \frac{10}{v'} \] --- - Anh Bình đi từ B đến A lúc 6 giờ, vận tốc 30 km/h, đến A quay về B. - Anh Bình cần thời gian từ 6 giờ đến lúc gặp nhau trên đường về: Gọi \(t_{B, đi}\) là thời gian anh Bình đi từ B đến A: \[ t_{B, đi} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \text{ giờ} \] - Sau đó anh Bình quay về B, thời gian từ A đến vị trí gặp nhau: \[ t_{B, về} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \text{ giờ} \] - Tổng thời gian từ 6 giờ đến lúc gặp nhau của anh Bình: \[ T_{anh Bình} = t_{B, đi} + t_{B, về} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \text{ giờ} \] --- **Do hai người gặp nhau cùng lúc:** \[ T_{chị Mai} = T_{anh Bình} \Rightarrow \frac{2}{3} + t_x + \frac{10}{v'} = 1 \] Suy ra: \[ t_x + \frac{10}{v'} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad (1) \] --- **Tính thời gian chị Mai về đến A** - Thời gian từ B về A của chị Mai: \[ t_{về}' = \frac{20}{v'} \] - Tổng thời gian chị Mai đi từ 6 giờ đến lúc về đến A: \[ T_{A, chị Mai} = \frac{2}{3} + t_x + t_{về}' = \frac{2}{3} + t_x + \frac{20}{v'} \] --- **Tính thời gian anh Bình về đến B** - Anh Bình lúc 6 giờ đi B → A: \[ t_{B, đi} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \] - Khi đến A quay về B: \[ t_{B, về} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \] - Tổng thời gian anh Bình đi từ 6 giờ đến B: \[ T_{B, anh Bình} = t_{B, đi} + t_{B, về} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \text{ giờ} = 1 \text{ giờ } 20 \text{ phút} \] --- **Theo đề bài, thời gian về đến A của chị Mai và về đến B của anh Bình chênh lệch 5 phút (0,0833 giờ):** Giả sử chị Mai về đến A trước, thì: \[ T_{B, anh Bình} - T_{A, chị Mai} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \text{ giờ} \] Thay số: \[ \frac{4}{3} - \left(\frac{2}{3} + t_x + \frac{20}{v'}\right) = \frac{1}{12} \] Tính: \[ \frac{4}{3} - \frac{2}{3} - t_x - \frac{20}{v'} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{2}{3} - t_x - \frac{20}{v'} = \frac{1}{12} \] Suy ra: \[ - t_x - \frac{20}{v'} = \frac{1}{12} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12} - \frac{8}{12} = -\frac{7}{12} \] \[ t_x + \frac{20}{v'} = \frac{7}{12} \quad (2) \] --- **Kết hợp (1) và (2):** (1) \(t_x + \frac{10}{v'} = \frac{1}{3} = \frac{4}{12}\) (2) \(t_x + \frac{20}{v'} = \frac{7}{12}\) Trừ (1) từ (2): \[ \left(t_x + \frac{20}{v'}\right) - \left(t_x + \frac{10}{v'}\right) = \frac{7}{12} - \frac{4}{12} \] \[ \frac{20}{v'} - \frac{10}{v'} = \frac{3}{12} \] \[ \frac{10}{v'} = \frac{1}{4} \Rightarrow v' = \frac{10}{\frac{1}{4}} = 40 \text{ km/h} \] --- **Tính lại \(t_x\):** Dùng (1): \[ t_x + \frac{10}{40} = \frac{1}{3} \Rightarrow t_x + 0.25 = 0.3333 \] \[ t_x = 0.0833 \text{ giờ} = 5 \text{ phút} \] --- ### **Kết luận:** - Vận tốc về của chị Mai ngày hôm đó là 40 km/h. - Thời gian chị Mai xử lý hàng ở B là 5 phút. --- ## **Tóm tắt đáp án:** a) - Vận tốc chị Mai và anh Bình là 30 km/h. - Hai người gặp nhau lúc đi và lúc về đều tại điểm cách A 10 km. b) - Vận tốc về của chị Mai ngày hôm đó là 40 km/h. - Thời gian chị Mai ở lại B là 5 phút. --- **Đáp số:** a) \(v = 30\) km/h; vị trí gặp nhau cách A 10 km cả lúc đi và lúc về. b) Vận tốc về của chị Mai là 40 km/h.