Giúp mình với!

$a)$ Gắn hệ trục tọa độ $A'xyz$ như hình vẽ $A'(0; 0; 0)$ $B'(1; 0; 0)$ $C'(1; 1; 0)$ $C(1; 1; 1)$ $A(0; 0; 1)$ Tọa độ tâm $O$ của hình lập phương là trung điểm của đường chéo $A'C$ $\begin{cases} x_O = \dfrac{x_{A'} + x_C}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\ y_O = \dfrac{y_{A'} + y_C}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\ z_O = \dfrac{z_{A'} + z_C}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$ $O\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$ Tọa độ tâm $I$ của hình vuông $A'B'C'D'$ là trung điểm của đường chéo $A'C'$ $\begin{cases} x_I = \dfrac{x_{A'} + x_{C'}}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\ y_I = \dfrac{y_{A'} + y_{C'}}{2} = \dfrac{0 + 1}{2} = \dfrac{1}{2} \\ z_I = \dfrac{z_{A'} + z_{C'}}{2} = \dfrac{0 + 0}{2} = 0 \end{cases}$ $I\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; 0\right)$ Điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO = \dfrac{1}{2} MI$ $\overrightarrow{IM} = 2\overrightarrow{MO}$ $\begin{cases} x_M - \dfrac{1}{2} = 2\left(\dfrac{1}{2} - x_M\right) \\ y_M - \dfrac{1}{2} = 2\left(\dfrac{1}{2} - y_M\right) \\ z_M - 0 = 2\left(\dfrac{1}{2} - z_M\right) \end{cases}$ $\begin{cases} x_M - \dfrac{1}{2} = 1 - 2x_M \\ y_M - \dfrac{1}{2} = 1 - 2y_M \\ z_M = 1 - 2z_M \end{cases}$ $\begin{cases} 3x_M = \dfrac{3}{2} \\ 3y_M = \dfrac{3}{2} \\ 3z_M = 1 \end{cases}$ $\begin{cases} x_M = \dfrac{1}{2} \\ y_M = \dfrac{1}{2} \\ z_M = \dfrac{1}{3} \end{cases}$ $M\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}\right)$ $\Rightarrow$ Sai $b)$ Từ hệ trục tọa độ $A'xyz$ đã chọn $A'$ trùng gốc tọa độ nên $A'(0; 0; 0)$ $B'$ nằm trên trục $Ox$ nên $B'(1; 0; 0)$ $D'$ nằm trên trục $Oy$ nên $D'(0; 1; 0)$ $A$ nằm trên trục $Oz$ nên $A(0; 0; 1)$ $\Rightarrow$ Đúng $c)$ Từ giả thiết vectơ ta có tọa độ các điểm $P(1; 2; -2)$ $Q\left(\dfrac{8}{3}; \dfrac{4}{3}; \dfrac{8}{3}\right)$ $A'(0; 0; 0)$ Tính độ dài các cạnh của tam giác $A'PQ$ $A'P = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3$ $A'Q = \sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{8}{3}\right)^2} = 4$ $PQ = \sqrt{\left(\dfrac{8}{3} - 1\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 2\right)^2 + \left(\dfrac{8}{3} + 2\right)^2} = 5$ Tâm đường tròn nội tiếp $J$ tính theo công thức $J = \dfrac{PQ \cdot A' + A'Q \cdot P + A'P \cdot Q}{A'P + A'Q + PQ}$ $\begin{cases} x_J = \dfrac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot \dfrac{8}{3}}{3 + 4 + 5} = 1 \\ y_J = \dfrac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot \dfrac{4}{3}}{3 + 4 + 5} = 1 \\ z_J = \dfrac{5 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) + 3 \cdot \dfrac{8}{3}}{3 + 4 + 5} = 0 \end{cases}$ $J(1; 1; 0)$ Suy ra hệ số $a = 1, b = 1, c = 0$ Tính giá trị biểu thức $a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0$ $\Rightarrow$ Đúng $d)$ Gọi tọa độ điểm cần tìm là $N(x; y; z)$ Ta có các vectơ $\overrightarrow{NA} = (-x; -y; 1-z)$ $\overrightarrow{NB'} = (1-x; -y; -z)$ $\overrightarrow{ND'} = (-x; 1-y; -z)$ Từ giả thiết các góc vuông ta có hệ tích vô hướng $\begin{cases} \overrightarrow{NA} \cdot \overrightarrow{NB'} = 0 \\ \overrightarrow{NB'} \cdot \overrightarrow{ND'} = 0 \\ \overrightarrow{ND'} \cdot \overrightarrow{NA} = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} -x(1-x) + (-y)(-y) + (1-z)(-z) = 0 \\ (1-x)(-x) + (-y)(1-y) + (-z)(-z) = 0 \\ (-x)(-x) + (1-y)(-y) + (-z)(1-z) = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} -x + x^2 + y^2 - z + z^2 = 0 \\ -x + x^2 - y + y^2 + z^2 = 0 \\ x^2 - y + y^2 - z + z^2 = 0 \end{cases}$ $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - x - z = 0 & \text{ }(1) \\ x^2 + y^2 + z^2 - x - y = 0 & \text{ }(2) \\ x^2 + y^2 + z^2 - y - z = 0 & \text{ }(3) \end{cases}$ Trừ vế với vế của $(1)$ và $(2)$ $y - z = 0 \Rightarrow y = z$ Trừ vế với vế của $(2)$ và $(3)$ $x - z = 0 \Rightarrow x = z$ Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các ẩn $x = y = z$ Thay $y = x$ và $z = x$ vào phương trình $(1)$ ta được $x^2 + x^2 + x^2 - x - x = 0$ $3x^2 - 2x = 0$ $x(3x - 2) = 0$ $\left[ \begin{aligned} x = 0 \\ x = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \right.$ Với $x = 0 \Rightarrow y = 0, z = 0 \Rightarrow N(0; 0; 0)$ Đối chiếu điều kiện không trùng với $A(0;0;1), B'(1;0;0), D'(0;1;0)$ $N(0; 0; 0)$ không trùng ba điểm trên $(n)$ Với $x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}, z = \dfrac{2}{3} \Rightarrow N\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3}\right)$ Đối chiếu điều kiện không trùng với $A, B', D'$ $N\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3}\right)$ không trùng ba điểm trên $(n)$ Vậy có đúng 2 điểm $N$ thỏa mãn yêu cầu đề bài $\Rightarrow$ Đúng