Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz với gốc toạ độ O đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ a km theo hướng bắc và b km theo hướng tây. Khi đó a + b bằng bao nhiêu?

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Khi đó mặt đất trùng với mặt phẳng (Oxy): z = 0.

Tọa độ của drone thứ nhất là A(-2,5; -1,5; 60).

Tọa độ của drone thứ hai là B(-3; 2,5; 40).

Gọi M(x; y; 0) là vị trí tiếp nhiên liệu trên mặt đất.

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy) $\Rightarrow A'(-2,5; -1,5; -60)$.

Khi đó, với mọi điểm M trên (Oxy), ta luôn có MA = MA'.

Do đó: MA + MB = MA' + MB.

Để MA + MB nhỏ nhất thì MA' + MB nhỏ nhất $\Rightarrow$ M là giao điểm của đoạn thẳng A'B với mặt phẳng (Oxy).

Khi đó, ba điểm A', M, B thẳng hàng và $\vec{A'M}$ cùng phương với $\vec{A'B}$.

Ta có:

$\vec{A'B} = (-3 - (-2,5); 2,5 - (-1,5); 40 - (-60)) = (-0,5; 4; 100)$

$\vec{A'M} = (x + 2,5; y + 1,5; 60)$

Vì $\vec{A'M}$ cùng phương với $\vec{A'B}$ nên ta có hệ phương trình:

$\frac{x + 2,5}{-0,5} = \frac{60}{100}$

$\Leftrightarrow x + 2,5 = -0,3$

$\Leftrightarrow x = -2,8$

$\frac{y + 1,5}{4} = \frac{60}{100}$

$\Leftrightarrow y + 1,5 = 2,4$

$\Leftrightarrow y = 0,9$

Vậy tọa độ điểm M là (-2,8; 0,9; 0).

Theo đề bài, vị trí này cách gốc tọa độ a km về hướng Bắc và b km về hướng Tây.

Vì trục Ox hướng về phía Nam nên x = -2,8 tức là cách gốc O một khoảng 2,8 km về hướng Bắc $\Rightarrow a = 2,8$.

Vì trục Oy hướng về phía Tây nên y = 0,9 tức là cách gốc O một khoảng 0,9 km về hướng Tây $\Rightarrow b = 0,9$.

$a+b= 2,8 + 0,9 = 3,7$

Vậy a + b = 3,7.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của hai chiếc drone trong hệ tọa độ Oxyz.

1. **Tọa độ của drone thứ nhất**:
   - Bay 2,5 km về phía nam (tức là -2,5 km trên trục y)
   - Bay 1,5 km về phía đông (tức là +1,5 km trên trục x)
   - Bay cách mặt đất 60m (tức là +60m trên trục z)

Tọa độ của drone thứ nhất: $ A(1.5, -2.5, 60) $.

2. **Tọa độ của drone thứ hai**:
   - Bay 3 km về phía bắc (tức là +3 km trên trục y)
   - Bay 2,5 km về phía tây (tức là -2,5 km trên trục x)
   - Bay cách mặt đất 40m (tức là +40m trên trục z)

Tọa độ của drone thứ hai: $ B(-2.5, 3, 40) $.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm vị trí tiếp nhiên liệu trên mặt đất (mặt phẳng Oxy), có tọa độ $ P(x, y, 0) $.

Khoảng cách từ điểm P đến drone thứ nhất là:
$$
d_1 = \sqrt{(x - 1.5)^2 + (y + 2.5)^2 + (60)^2}
$$
Khoảng cách từ điểm P đến drone thứ hai là:
$$
d_2 = \sqrt{(x + 2.5)^2 + (y - 3)^2 + (40)^2}
$$

Chúng ta cần tối thiểu hóa tổng khoảng cách:
$$
D = d_1 + d_2
$$

Để đơn giản, vì phần z không ảnh hưởng đến vị trí tiếp nhiên liệu (tính theo mặt đất), ta sẽ tối thiểu hóa khoảng cách trên mặt phẳng Oxy:
$$
D^2 = d_1^2 + d_2^2
$$
Khi tính toán cụ thể, ta sẽ không giải chi tiết phương trình mà chỉ cần xem xét điều kiện.

Để tìm điểm tối ưu, chúng ta có thể sử dụng nguyên lý trung điểm giữa hai drone, bởi vì tổng khoảng cách từ một điểm đến hai điểm sẽ nhỏ nhất tại điểm trung bình của hai điểm đó.

Tọa độ trung bình của drone thứ nhất và thứ hai là:
$$
M\left( \frac{1.5 - 2.5}{2}, \frac{-2.5 + 3}{2} \right) = M\left( \frac{-1}{2}, \frac{0.5}{2} \right) = M\left( -0.5, 0.25 \right)
$$

Do đó, điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất sẽ có tọa độ:
$$
x = -0.5 \quad \text{và} \quad y = 0.25
$$

Giá trị a và b sẽ tương ứng với tọa độ:
- a là khoảng cách theo hướng bắc, do đó a = 0.25 km (tức là 250 m)
- b là khoảng cách theo hướng tây, do đó b = 0.5 km (tức là 500 m)

Tính tổng:
$$
a + b = 0.25 + 0.5 = 0.75 \text{ km}
$$

Cuối cùng, a + b bằng 0.75 km, và nếu chuyển sang mét sẽ là 750 m.

**Kết luận**: a + b = 0.75 km.

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó...