« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$

Để chứng minh đẳng thức logic \( (P \rightarrow Q) \leftrightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P) \) bằng hai cách: lập bảng chân trị và dùng luật logic. ### Cách 1: Lập bảng chân trị Chúng ta cần lập bảng chân trị cho cả hai biểu thức \( (P \rightarrow Q) \) và \( (\neg Q \rightarrow \neg P) \). **Bước 1: Tạo bảng chân trị** Chúng ta có 2 biến \( P \) và \( Q \), mỗi biến có 2 giá trị là Đúng (T) và Sai (F). Tổng cộng có 4 trường hợp: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \rightarrow Q & \neg Q & \neg P & \neg Q \rightarrow \neg P \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & F & T & F & F \\ F & T & T & F & T & T \\ F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array} \] **Bước 2: Tính giá trị cho từng biểu thức** - \( P \rightarrow Q \) được định nghĩa là \( \neg P \lor Q \). - \( \neg Q \) là phủ định của \( Q \). - \( \neg P \) là phủ định của \( P \). - \( \neg Q \rightarrow \neg P \) được định nghĩa là \( \neg Q \lor \neg P \). Sau khi tính toán, chúng ta có: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \rightarrow Q & \neg Q & \neg P & \neg Q \rightarrow \neg P \\ \hline T & T & T & F & F & T \\ T & F & F & T & F & F \\ F & T & T & F & T & T \\ F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array} \] **Bước 3: So sánh các cột** Ta thấy rằng cột \( P \rightarrow Q \) và cột \( \neg Q \rightarrow \neg P \) đều có giá trị giống nhau trong mọi trường hợp. Vậy: \[ (P \rightarrow Q) \leftrightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P) \text{ là đúng.} \] ### Cách 2: Dùng luật logic Chúng ta sẽ dùng các luật logic để chứng minh: 1. **Luật phủ định và phép loại trừ**: \( P \rightarrow Q \) tương đương với \( \neg P \lor Q \). 2. **Dùng quy tắc De Morgan**: \( \neg Q \rightarrow \neg P \) tương đương với \( \neg \neg Q \lor \neg P \) (tức là \( Q \lor \neg P \)). 3. **Thay đổi và rút gọn**: Ta có thể thấy rằng \( \neg P \lor Q \) và \( Q \lor \neg P \) là tương đương. Vậy chúng ta có: \[ (P \rightarrow Q) \leftrightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P) \] Đến đây, ta đã hoàn thành cả hai cách chứng minh. ### Kết luận Chúng ta đã chứng minh rằng: \[ (P \rightarrow Q) \leftrightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P) \] là đúng bằng cả hai cách: lập bảng chân trị và dùng luật logic.