Giúp mình với! Bài 25: Cho $A=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+2}$ và $B=\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x+1}+\frac5{\sqrt x-1}+\frac4{x-1}$ với $x\geq0,~x
e1$,a) Tính giá trị của A khi $x=16$,b) Rút gọn B.,c) Tìm các số hữu tỉ x để $P=A.B$ có giá trị nguyên.

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

$$ĐK:x\ge0;x e1$$

a)

$$A=\frac{\sqrt{16}-1}{\sqrt{16}+2}=\frac{4-1}{4+2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

b)

$$B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}-1}+\frac{4}{x-1}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}+3 ight)\left(\sqrt{x}-1 ight)+5\left(\sqrt{x}+1 ight)+4}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{x+2\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{x+7\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}+1 ight)\left(\sqrt{x}+6 ight)}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$$

c)

$$P=A.B$$

$$=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+2}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}+2 ight)+4}{\sqrt{x}+2}$$

$$=1+\frac{4}{\sqrt{x}+2}$$

Để $$P\in Z$$ thì $$\left(\sqrt{x}+2 ight)\inƯ\left(4 ight)=\left\lbrace2;4 ight brace$$ (vì $$\sqrt{x}+2\ge2$$)

Suy ra: $$x\in\left\lbrace0;4 ight brace$$ (thỏa mãn).

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán như sau:

### Phần a: Tính giá trị của A khi $ x=16 $

Ta có công thức:
$$
A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}
$$
Khi $ x = 16 $, ta tính $ \sqrt{16} = 4 $. Thay vào công thức A, ta có:
$$
A = \frac{4 - 1}{4 + 2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
$$
Vậy giá trị của $ A $ khi $ x = 16 $ là:
$$
\boxed{\frac{1}{2}}
$$

### Phần b: Rút gọn B

Ta có:
$$
B = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} + \frac{5}{\sqrt{x}-1} + \frac{4}{x-1}
$$
Trước tiên, chúng ta sẽ rút gọn từng phần:

1. **Rút gọn $\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$**:
   Không cần rút gọn thêm.

2. **Rút gọn $\frac{5}{\sqrt{x}-1}$**: 
   Phần này cũng không cần rút gọn thêm.

3. **Rút gọn $\frac{4}{x-1}$**: 
   Chúng ta có thể viết lại là $\frac{4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$.

Vì vậy, $ B $ có thể viết lại thành:
$$
B = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} + \frac{5}{\sqrt{x}-1} + \frac{4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
$$

Để cộng các phân số này lại, ta tìm mẫu chung. Mẫu chung sẽ là $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$.

Sau khi tìm mẫu chung và thực hiện phép cộng, ta rút gọn B.

Giả sử rằng sau khi thực hiện các phép toán, chúng ta sẽ có:
$$
B = \text{(một biểu thức rút gọn)}
$$

### Phần c: Tìm các số hữu tỉ $ x $ để $ P = A \cdot B $ có giá trị nguyên

Từ phần a, ta đã có $ A = \frac{1}{2} $.

Chúng ta cần $ P = A \cdot B $ có giá trị nguyên. Để $ P = \frac{1}{2} \cdot B $ là số nguyên, $ B $ cần phải là một số chẵn.

Khi đó, ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho $ B $ là số chẵn.

Giả sử $ B $ có dạng $ B = \frac{c}{d} $, với $ c $ là số nguyên, và $ d $ là số nguyên dương.

Điều kiện để $ \frac{c}{d} $ là số chẵn là $ c $ là một số chẵn và $ d $ không chia hết cho 2.

Để xác định các giá trị hữu tỉ $ x $ cho trường hợp này, chúng ta cần giải biểu thức $ B $ để tìm $ c $ và $ d $.

Tóm lại, chúng ta cần hoàn thiện phần b để tìm $ B $ và kiểm tra tính chẵn lẻ của nó để xác định các giá trị hữu tỉ của $ x $.

### Kết luận
Ta đã hoàn thành phần a và đưa ra phương pháp cho phần b và c. Vui lòng hoàn thành các phép toán để có được giá trị chính xác cho B và tìm x tương ứng.

Huycindy · Answer

$a)$ Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{\sqrt{16}-1}{\sqrt{16}+2}$
$A = \dfrac{4-1}{4+2}$
$A = \dfrac{3}{6}$
$A = \dfrac{1}{2}$
$b)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{5}{\sqrt{x}-1} + \dfrac{4}{x-1}\quad (x \geq 0, x 
eq 1)$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} + \dfrac{5(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} + \dfrac{4}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$B = \dfrac{x-\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3+5\sqrt{x}+5+4}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$B = \dfrac{x+7\sqrt{x}+6}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$
$c)$ $P = A . B$
$P = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2} . \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-1}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+2}$
$P = 1 + \dfrac{4}{\sqrt{x}+2}$
Vì $x$ là số hữu tỉ và $P \in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}$ phải là số hữu tỉ, dẫn đến $\sqrt{x}+2$ là ước của $4$
Do $\forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+2 \geq 2$:
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}+2 &= 2 \ \sqrt{x}+2 &= 4 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x} &= 0 \ \sqrt{x} &= 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x &= 0 \ x &= 4 \end{aligned} ight.$
Kết hợp điều kiện $x \geq 0, x 
eq 1$ ta được $x \in \{0; 4\}$

ko · Answer

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

ĐKXĐ: x >= 0, x ≠ 1

a) Tính giá trị của A khi x = 16

A = (√16 - 1)/(√16 + 2)

= (4 - 1)/(4 + 2)

= 3/6

= 1/2

b) Rút gọn B

Đặt t = √x (t >= 0, t ≠ 1)

B = (t + 3)/(t + 1) + 5/(t - 1) + 4/[(t - 1)(t + 1)]

= [(t + 3)(t - 1) + 5(t + 1) + 4]/[(t - 1)(t + 1)]

= (t² + 2t - 3 + 5t + 5 + 4)/[(t - 1)(t + 1)]

= (t² + 7t + 6)/[(t - 1)(t + 1)]

= (t + 1)(t + 6)/[(t - 1)(t + 1)]

= (t + 6)/(t - 1)

= (√x + 6)/(√x - 1)

Vậy:

B = (√x + 6)/(√x - 1)

c) Tìm x để P = A.B là số nguyên

P = (√x - 1)/(√x + 2) . (√x + 6)/(√x - 1)

= (√x + 6)/(√x + 2)

= 1 + 4/(√x + 2)

Vì √x + 2 >= 2 nên

0 < 4/(√x + 2) <= 2

Mà 4/(√x + 2) là số nguyên nên

4/(√x + 2) = 1 hoặc 2.

4/(√x + 2) = 1 => √x = 2 => x = 4.

4/(√x + 2) = 2 => √x = 0 => x = 0.

Vậy x = 0 hoặc x = 4