Giúp mình với! Bài 16: Cho biểu thức $A=\frac{2x+2}{\sqrt x}+\frac{x\sqrt x-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}.$,a) Rút gọn biểu thức A .,b) So sánh giá trị của biểu thức A với 6.

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

a, Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x e 1$.

Ta có: $A = \dfrac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \dfrac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}$

$= \dfrac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{(\sqrt{x})^3 - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \dfrac{(\sqrt{x})^3 + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$

$= \dfrac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$

$= \dfrac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \dfrac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{2x + 2 + x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

b, $A = \dfrac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + 2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2\sqrt{x}$ và $\dfrac{2}{\sqrt{x}}$, ta có:

$2\sqrt{x} + \dfrac{2}{\sqrt{x}} \ge 2\sqrt{2\sqrt{x} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{x}}} = 2\sqrt{4} = 4$

Suy ra: $A = 2\sqrt{x} + 2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}} \ge 4 + 2 = 6$

Dấu "=" xảy ra khi $2\sqrt{x} = \dfrac{2}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 1$ (loại vì $x e 1$)

Vậy $A > 6$ với mọi $x > 0, x e 1$.

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các phần a) và b).

### a) Rút gọn biểu thức $ A $

Biểu thức $ A $ được cho là:

$$
A = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}
$$

**Bước 1: Rút gọn từng thành phần của $ A $**

1. Rút gọn phần đầu tiên:

$$
\frac{2x + 2}{\sqrt{x}} = \frac{2(x + 1)}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}
$$

2. Rút gọn phần thứ hai:

$$
\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} 
$$

Nhân cả tử và mẫu với $ x + \sqrt{x} $:

$$
\frac{(x\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x})}{(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})} = \frac{x^2\sqrt{x} + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{x^2 - x} = \frac{x^2\sqrt{x} + x\sqrt{x} - x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})}
$$

**Bước 2: Thực hiện phép cộng và trừ các phần**

Chúng ta sẽ thực hiện phép cộng và trừ với các phần đã rút gọn, và sau đó kết hợp các thành phần lại với nhau.

**Bước 3: Rút gọn hoàn toàn**

Tìm các mẫu chung và thực hiện phép cộng.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ nhận được:

$$
A = 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} - (x + \sqrt{x})
$$

### b) So sánh giá trị của biểu thức $ A $ với 6

Sau khi đã có biểu thức $ A $, ta sẽ thay giá trị của $ x $ vào để so sánh với 6.

Giả sử $ x = 1 $:

$$
A = 2\sqrt{1} + \frac{2}{\sqrt{1}} - (1 + \sqrt{1}) = 2 + 2 - (1 + 1) = 2
$$

Giả sử $ x = 4 $:

$$
A = 2\sqrt{4} + \frac{2}{\sqrt{4}} - (4 + \sqrt{4}) = 4 + 1 - (4 + 2) = 4 + 1 - 6 = -1
$$

Khi thử các giá trị khác nhau, ta thấy rằng $ A $ có thể nhận giá trị khác nhau tùy thuộc vào $ x $. Tuy nhiên, đối với các giá trị $ x \geq 0 $, giá trị của $ A $ có thể so sánh được với 6.

### Kết luận

Giá trị của biểu thức $ A $ có thể thấp hơn hoặc bằng 6 tùy thuộc vào giá trị của $ x $. Ta có thể thấy rằng $ A $ không nhất thiết phải lớn hơn 6 cho mọi $ x $.

Do đó, câu trả lời cuối cùng là:

- a) Biểu thức $ A $ được rút gọn có thể là $ 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} - (x + \sqrt{x}) $.
- b) Giá trị của $ A $ có thể nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn 6, phụ thuộc vào giá trị của $ x $.

Huycindy · Answer

$a)$ $A = \dfrac{2x+2}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \dfrac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\quad (x > 0, x 
eq 1)$
$A = \dfrac{2x+2}{\sqrt{x}} + \dfrac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} - \dfrac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$A = \dfrac{2x+2}{\sqrt{x}} + \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} - \dfrac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
$A = \dfrac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$
$A = \dfrac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$
$A = \dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$
$b)$ Xét hiệu $A - 6$:
$A - 6 = \dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}} - 6$
$A - 6 = \dfrac{2x+2\sqrt{x}+2-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
$A - 6 = \dfrac{2(\sqrt{x}-1)^2}{\sqrt{x}}$
Do $\forall x > 0, x 
eq 1$:
$\sqrt{x} > 0$ và $2(\sqrt{x}-1)^2 > 0$
$A - 6 > 0$
$A > 6$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

$$ĐK:x>0;x e1$$

a)

$$A=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$$

$$=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(x+\sqrt{x}+1 ight)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1 ight)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1 ight)\left(x-\sqrt{x}+1 ight)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$

$$=\frac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$$

b)

Ta có:

$$A-6=\frac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-6$$

$$=\frac{2x+2\sqrt{x}+2-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$

$$=\frac{2x-4\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$$

$$=\frac{2\left(x-2\sqrt{x}+1 ight)}{\sqrt{x}}$$

$$=\frac{2\left(\sqrt{x}-1 ight)^2}{\sqrt{x}}$$

Vì $$x>0;x e1$$ nên $$\sqrt{x}>0;\left(\sqrt{x}-1 ight)^2>0$$

Suy ra: $$\frac{2\left(\sqrt{x}-1 ight)^2}{\sqrt{x}}.0$$ hay $$A-6>0$$ hay $$A>6$$.

『 B✟F✟F 』『 2KL 』 Hakate @ Kakashi ︵²ᵏ⁷ · Answer

Vu Nguyen · Answer

ĐKXD $\displaystyle x > 0, x eq 1$.

a)

$\displaystyle A = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

$\displaystyle A = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x})^3 - 1^3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} - \frac{(\sqrt{x})^3 + 1^3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$\displaystyle A = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} - \frac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$\displaystyle A = \frac{2x+2}{\sqrt{x}} + \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} - \frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle A = \frac{2x+2 + x+\sqrt{x}+1 - (x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle A = \frac{2x+2 + x+\sqrt{x}+1 - x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle A = \frac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$\displaystyle A = 2\sqrt{x} + 2 + \frac{2}{\sqrt{x}}$

---

b)

Ta có: $\displaystyle A = 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 2$

Với $\displaystyle x > 0$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho hai số dương $\displaystyle 2\sqrt{x}$ và $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}$:

$\displaystyle 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \ge 2\sqrt{2\sqrt{x} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}}} = 2\sqrt{4} = 4$

Suy ra: $\displaystyle A = \left( 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} ight) + 2 \ge 4 + 2 = 6$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\displaystyle 2\sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$ (loại)

Vậy $\displaystyle A > 6$.