Phân tích đa thức thành nhân tử chung

Để phân tích đa thức \( h)~x^3+8-(x+2)(5-2x) \) thành nhân tử chung, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức \( -(x+2)(5-2x) \). \[ -(x+2)(5-2x) = -[(x)(5) + (x)(-2x) + (2)(5) + (2)(-2x)] \] \[ = -[5x - 2x^2 + 10 - 4x] \] \[ = -[-2x^2 + x + 10] = 2x^2 - x - 10 \] Bước 2: Thay thế vào đa thức ban đầu. \[ h = x^3 + 8 - (2x^2 - x - 10) \] \[ = x^3 + 8 - 2x^2 + x + 10 \] \[ = x^3 - 2x^2 + x + 18 \] Bước 3: Tìm cách phân tích \( x^3 - 2x^2 + x + 18 \). Chúng ta sẽ thử nghiệm tìm nghiệm của đa thức bằng cách thay một số giá trị của \( x \). - Thử \( x = 2 \): \[ 2^3 - 2(2^2) + 2 + 18 = 8 - 8 + 2 + 18 = 20 \quad (\text{không phải nghiệm}) \] - Thử \( x = -2 \): \[ (-2)^3 - 2(-2)^2 + (-2) + 18 = -8 - 8 - 2 + 18 = 0 \quad (\text{là nghiệm}) \] Bước 4: Thực hiện phân tích nhân tử với nghiệm đã tìm được \( x = -2 \). Chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức để chia \( x^3 - 2x^2 + x + 18 \) cho \( x + 2 \). - Chia \( x^3 \) cho \( x \) được \( x^2 \). - Nhân \( x^2 \) với \( (x + 2) \) được \( x^3 + 2x^2 \). - Trừ đi: \[ (x^3 - 2x^2) - (x^3 + 2x^2) = -4x^2 + x + 18 \] - Chia \( -4x^2 \) cho \( x \) được \( -4x \). - Nhân \( -4x \) với \( (x + 2) \) được \( -4x^2 - 8x \). - Trừ đi: \[ (-4x^2 + x) - (-4x^2 - 8x) = 9x + 18 \] - Chia \( 9x \) cho \( x \) được \( 9 \). - Nhân \( 9 \) với \( (x + 2) \) được \( 9x + 18 \). - Trừ đi: \[ (9x + 18) - (9x + 18) = 0 \] Kết quả chia là \( x^2 - 4x + 9 \), do đó: \[ h = (x + 2)(x^2 - 4x + 9) \] Bước 5: Kiểm tra thêm \( x^2 - 4x + 9 \) không có nghiệm thực (vì \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 < 0 \)). Vậy đa thức \( h \) có thể phân tích thành nhân tử: \[ \boxed{(x + 2)(x^2 - 4x + 9)} \]