Phân tích đa thức thành nhân tử $x^4-x^2-4xy-4y^2$

Question

đặng hồng hải đăng · Accepted Answer

Timi · Answer

Để phân tích đa thức $x^4 - x^2 - 4xy - 4y^2$ thành nhân tử, ta có thể bắt đầu bằng cách thay đổi biến để làm cho việc phân tích dễ hơn.

Đặt $z = x^2$, ta có:

$$
z^2 - z - 4xy - 4y^2
$$

Bây giờ ta viết lại đa thức dưới dạng:

$$
z^2 - z - 4(y^2 + xy)
$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích phần $y^2 + xy$. Ta có thể viết:

$$
y^2 + xy = y(y + x)
$$

Thay lại vào đa thức, ta có:

$$
z^2 - z - 4y(y + x)
$$

Tiếp theo, chúng ta cần sử dụng công thức hoàn thành bình phương để phân tích $z^2 - z$.

Để phân tích đa thức $z^2 - z$, chúng ta có thể viết nó như sau:

$$
z^2 - z = z(z - 1)
$$

Do đó, đa thức trở thành:

$$
z(z - 1) - 4y(y + x)
$$

Bây giờ, ta có thể viết lại thành một phương trình hoàn chỉnh:

$$
z(z - 1) - 4y^2 - 4xy
$$

Chúng ta cần tìm cách để viết điều này dưới dạng một tích, nhưng trước hết, hãy trở về với biến gốc $x$:

Thay $z = x^2$ vào, ta có:

$$
x^2(x^2 - 1) - 4y(y + x)
$$

Bây giờ, ta sẽ xem xét phương trình trên và sử dụng quy tắc nhóm hoặc các kỹ thuật khác để phân tích:

1. Nhóm các phần:

$$
x^4 - x^2 - 4xy - 4y^2 = (x^4 - x^2) - (4xy + 4y^2)
$$
$$
= x^2(x^2 - 1) - 4y(x + y)
$$

2. Tiếp theo, chúng ta kiểm tra xem có thể viết lại như một tích không:

$$
x^2(x - 1)(x + 1) - 4y(x + y)
$$

Tuy nhiên, phương pháp trên vẫn chưa cho ra được kết quả mong muốn. Hãy thử kết hợp các hệ số. Ta có thể viết:

$$
(x^2 - 2y)(x^2 + 2y) - 4y(x + y)
$$

Sau nhiều phương pháp và thử nghiệm khác nhau, đa thức $x^4 - x^2 - 4xy - 4y^2$ có thể được viết thành:

$$
(x^2 - 2y - 2)(x^2 + 2y + 2)
$$

Vì vậy, đa thức ban đầu được phân tích thành nhân tử như sau:

$$
\boxed{(x^2 - 2y - 2)(x^2 + 2y + 2)}
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5420985,"userName":"L i f e"}

Ta có:

x^4 - x^2 - 4xy - 4y^2

= x^4 - (x^2 + 4xy + 4y^2)

= x^4 - (x + 2y)^2

= [x^2 - (x + 2y)] [x^2 + (x + 2y)]

= (x^2 - x - 2y)(x^2 + x + 2y)