Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Tính xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắ...

Để giải bài toán này, ta cần tính xác suất của việc rút được quả cầu trắng trong lần rút đầu tiên, với điều kiện rằng quả cầu rút ở lần thứ hai cũng là quả cầu trắng. Gọi: - \( A \): sự kiện rút được quả cầu trắng ở lần thứ nhất. - \( B \): sự kiện rút được quả cầu trắng ở lần thứ hai. Ta cần tính \( P(A | B) \) - xác suất của sự kiện \( A \) xảy ra khi biết rằng sự kiện \( B \) đã xảy ra. Theo định nghĩa của xác suất có điều kiện: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] **Bước 1: Tính \( P(B) \)** Sự kiện \( B \) có thể xảy ra theo hai cách: 1. Rút được quả trắng ở lần thứ nhất và trắng ở lần thứ hai. 2. Rút được quả đen ở lần thứ nhất và trắng ở lần thứ hai. - Tính xác suất cho trường hợp 1: - Xác suất rút quả trắng ở lần thứ nhất là \( \frac{50}{150} \). - Sau khi rút quả trắng, còn lại 49 quả trắng và 100 quả đen, tổng cộng còn 149 quả. Xác suất rút quả trắng ở lần thứ hai là \( \frac{49}{149} \). - Vậy \( P(A \cap B) \) cho trường hợp 1 là: \[ P(A \cap B) = \frac{50}{150} \times \frac{49}{149} \] - Tính xác suất cho trường hợp 2: - Xác suất rút quả đen ở lần thứ nhất là \( \frac{100}{150} \). - Sau khi rút quả đen, vẫn còn 50 quả trắng và 99 quả đen, tổng cộng là 149 quả. Xác suất rút quả trắng ở lần thứ hai là \( \frac{50}{149} \). - Vậy \( P(B | \text{đen ở lần 1}) \) là: \[ P(B | \text{đen ở lần 1}) = \frac{100}{150} \times \frac{50}{149} \] Do đó, tổng xác suất \( P(B) \): \[ P(B) = P(A \cap B) + P(B | \text{đen ở lần 1}) = \left( \frac{50}{150} \times \frac{49}{149} \right) + \left( \frac{100}{150} \times \frac{50}{149} \right) \] **Bước 2: Tính \( P(A \cap B) \)** Đã tính ở trên là \( P(A \cap B) = \frac{50}{150} \times \frac{49}{149} \). **Bước 3: Thay vào công thức** Bây giờ ta có: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{50}{150} \times \frac{49}{149}}{\left( \frac{50}{150} \times \frac{49}{149} \right) + \left( \frac{100}{150} \times \frac{50}{149} \right)} \] **Bước 4: Đơn giản hóa** Bỏ đi các yếu tố giống nhau và rút gọn: \[ P(A | B) = \frac{50 \times 49}{50 \times 49 + 100 \times 50} = \frac{49}{49 + 100} = \frac{49}{149} \] Cuối cùng, xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng là: \[ \boxed{\frac{49}{149}} \]