Một gia đình có n người con. Tính xác suất để cả n người con là con trai biết rằng có ít nhất một người con là con trai.

Question

Huycindy · Accepted Answer

Số phần tử của không gian mẫu cho gia đình có $n$ người con là $2^n$.
Gọi $A$ là biến cố "Gia đình có ít nhất một người con là con trai".
Biến cố đối $\overline{A}$ là "Gia đình không có con trai nào" (tất cả đều là con gái).
$n(\overline{A}) = 1$
$n(A) = 2^n - 1$
Gọi $B$ là biến cố "Cả $n$ người con là con trai".
Vì cả $n$ người con là con trai thỏa mãn điều kiện có ít nhất một con trai nên $B \subset A$, do đó $A \cap B = B$.
$n(B) = 1$
Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện:
$P(B\vert{}A) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(A)} = \dfrac{1}{2^n - 1}$

Timi · Answer

Để tính xác suất để cả n người con trong một gia đình đều là con trai, khi biết rằng có ít nhất một người con là con trai, ta có thể áp dụng quy tắc xác suất có điều kiện.

Giả sử xác suất sinh ra một đứa trẻ là con trai là $ p = \frac{1}{2} $ và xác suất sinh ra là con gái là $ 1 - p = \frac{1}{2} $.

1. **Tính xác suất cả n người con đều là con trai**:
   Xác suất để cả n người con đều là con trai là:
   $$
   P(A) = p^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n
   $$

2. **Tính xác suất có ít nhất một người con là con trai**:
   Để tính xác suất có ít nhất một người con là con trai, ta có thể dùng quy tắc bổ sung:
   $$
   P(B) = 1 - P(\text{không có ai là con trai}) = 1 - P(\text{tất cả đều là con gái}) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n
   $$
   Ở đây, $ P(\text{tất cả đều là con gái}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n $.

3. **Tính xác suất cần tìm**:
   Sử dụng công thức xác suất có điều kiện:
   $$
   P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
   $$
   Trong trường hợp này, $ P(A \cap B) = P(A) $ vì nếu tất cả đều là con trai thì chắc chắn có ít nhất một người con là con trai. Do đó:
   $$
   P(A | B) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}
   $$

Cuối cùng, xác suất để cả n người con là con trai, biết rằng có ít nhất một người con là con trai là:
$$
P(A | B) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}
$$

Đáp án cuối cùng là:
$$
P(A | B) = \frac{\frac{1}{2^n}}{1 - \frac{1}{2^n}}
$$