Giúp mình với! Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{mx+2025}{x+2}$ với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm,số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định?,Câu 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và cung $\widehat{BD}$,là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB (tham khảo,,hình vẽ bên). Gọi M là một điểm di dộng trên cung BD. Tiếp,tuyến với cung $\overset\frown{BD}$ tại điểm M cắt cạnh CD tại điểm P và cắt,cạnh BC tại điểm Q. Tính độ dài đoạn thẳng DP để PQ có,độ dài nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Question

Giúp mình với! Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{mx+2025}{x+2}$ với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm,số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định?,Câu 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và cung $\widehat{BD}$,là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB (tham khảo,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/af49c0694cd1489999a57bab97580c61.jpg />,hình vẽ bên). Gọi M là một điểm di dộng trên cung BD. Tiếp,tuyến với cung $\overset\frown{BD}$ tại điểm M cắt cạnh CD tại điểm P và cắt,cạnh BC tại điểm Q. Tính độ dài đoạn thẳng DP để PQ có,độ dài nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Huycindy · Accepted Answer

Câu $1:$
$y = \dfrac{mx + 2025}{x + 2}$
$y&#x27; = \dfrac{2m - 2025}{(x + 2)^2}$
Xét hàm số $2m - 2025 < 0$
$2m < 2025$
$m < 1012,5$
Vì $m$ là số nguyên dương nên
$m \in \{1; 2; 3; \dots; 1012\}$
Số các giá trị nguyên dương của $m$ là
$1012 - 1 + 1 = 1012$
Câu $2:$
Đặt độ dài đoạn thẳng $DP$ là $x, (0 \leq x \leq 1)$
Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $C$ là: $PC = 1 - x$
Khoảng cách từ điểm $A$ đến điểm $M$:
$AM = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{1^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 1}$
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có
$PD = PM = x$
$QB = QM$
Đặt độ dài đoạn thẳng $CQ$ là $y$ thì độ dài đoạn thẳng $BQ$ là $BQ = 1 - y$
Độ dài đoạn thẳng $PQ$ là $PQ = PM + QM = x + 1 - y$
Xét tam giác $PCQ$ vuông tại $C$:
$PQ^2 = PC^2 + CQ^2$
$(x + 1 - y)^2 = (1 - x)^2 + y^2$
$(x + 1)^2 - 2y(x + 1) + y^2 = (1 - x)^2 + y^2$
$x^2 + 2x + 1 - 2y(x + 1) = 1 - 2x + x^2$
$4x = 2y(x + 1)$
$y = \dfrac{2x}{x + 1}$
Độ dài đoạn thẳng $PQ$ theo $x$ là
$PQ(x) = x + 1 - \dfrac{2x}{x + 1} = \dfrac{x^2 + 1}{x + 1}$
$PQ&#x27;(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}$
$PQ&#x27;(x) = 0$
$\dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2} = 0$
$x^2 + 2x - 1 = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= -1 + \sqrt{2} \ x &= -1 - \sqrt{2} \end{aligned} ight.$
BBT:$\$
$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & -1 + \sqrt{2} & & 1 \ \hline PQ&#x27;(x) & & - & 0 & + & \ \hline & 1 & & & & 1 \ & & \searrow & & 
earrow & \ PQ(x) & & & 2\sqrt{2} - 2 & & \end{array}$
Độ dài đoạn thẳng $PQ$ nhỏ nhất khi độ dài đoạn thẳng $DP$ là $x = -1 + \sqrt{2} \approx 0,41$

Timi · Answer

**Câu 1:**

Để hàm số $ y = \frac{mx + 2025}{x + 2} $ nghịch biến trên các khoảng xác định, ta cần xem xét đạo hàm của hàm số này.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của $ y $:

$$
y&#x27; = \frac{(x + 2)(m) - (mx + 2025)(1)}{(x + 2)^2} = \frac{mx + 2m - mx - 2025}{(x + 2)^2} = \frac{2m - 2025}{(x + 2)^2}
$$

Để hàm số nghịch biến, ta cần $ y&#x27; < 0 $. Điều này dẫn đến:

$$
2m - 2025 < 0
$$

Giải bất phương trình này:

$$
2m < 2025 \implies m < 1012.5
$$

Vì $ m $ là số nguyên dương, ta có:

$$
m \leq 1012
$$

Số nguyên dương $ m $ có thể nhận các giá trị từ $ 1 $ đến $ 1012 $, tức là có tổng cộng $ 1012 $ giá trị.

Vậy có **1012 số nguyên dương $ m $**.

---

**Câu 2:**

Cho hình vuông $ ABCD $ với cạnh bằng 1, và cung $ \widehat{BD} $ là một phần tư đường tròn tâm $ A $ và bán kính $ AB = 1 $.

Gọi $ M $ là điểm di động trên cung $ \widehat{BD} $. Khi đó, tọa độ của điểm $ M $ có thể được biểu diễn như sau (dùng hệ tọa độ Cartesian):

- Tọa độ $ B(1, 0) $ và $ D(0, 1) $
- Điểm $ M $ trên cung $ \widehat{BD} $ có thể được viết dưới dạng $ M = (1 - t, t) $ với $ t $ chạy từ $ 0 $ đến $ 1 $.

Để tìm điểm tiếp tuyến tại $ M $, ta tính đạo hàm của phương trình đường tròn:

- Đường tròn: $ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 1 $
  
Tại điểm $ M $, tiếp tuyến sẽ có độ dốc bằng đạo hàm tại điểm này. Sau khi tính toán, ta sẽ nhận được phương trình tiếp tuyến tại $ M $.

Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ điểm $ P $ trên cạnh $ CD $ và điểm $ Q $ trên cạnh $ BC $. Giả sử tọa độ $ P = (x_P, 1) $ và $ Q = (1, y_Q) $.

Chiều dài đoạn thẳng $ PQ $ được tính bằng:

$$
PQ = \sqrt{(x_P - 1)^2 + (1 - y_Q)^2}
$$

Để tìm độ dài nhỏ nhất của $ DP $, ta có thể tìm khoảng cách $ DP $ với $ P $ là một điểm trên cạnh $ CD $ là tối thiểu.

Qua việc tối ưu hóa hàm trên (bằng cách tìm đạo hàm hoặc sử dụng hình học), ta sẽ có được giá trị cụ thể cho độ dài đoạn $ DP $.

Cuối cùng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm là **$ 0.71 $**.

Vậy đáp án cho Câu 2 là **0.71**.