Trắc nghiệm đúng sai Câu 4: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức,$V(t)=\frac1{100}(-0,5t^3+90t^2),(m^3)(0\leq t\leq120).$ Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi,$v(t)=V^\prime(t).$ Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:,a) Thể tích nước sau 10 phút là $80~m^3.$,b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t=20$ phút là $30(m^3/phút).$,c) Trong 30 phút đầu thể tích nước lớn nhất trong bể là $675~m^3.$,d) Tốc độ bơm nước cao nhất là $60(m^3/phút).$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán, chúng ta cần tính các giá trị theo công thức cho trước.

1. **Câu a**: Thể tích nước sau 10 phút là $ V(10) $.

Tính $ V(10) $:
   $$
   V(10) = \frac{1}{100} \left( -0,5(10^3) + 90(10^2) \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -0,5 \times 1000 + 90 \times 100 \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -500 + 9000 \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \times 8500 = 85 \, m^3
   $$
   **Kết luận**: Sai.

2. **Câu b**: Tốc độ bơm nước tại thời điểm $ t=20 $ phút là $ v(20) = V&#x27;(20) $.

Tính $ V&#x27;(t) $:
   $$
   V&#x27;(t) = \frac{1}{100} \left( -1.5t^2 + 180t \right)
   $$
   Tính $ V&#x27;(20) $:
   $$
   V&#x27;(20) = \frac{1}{100} \left( -1.5(20^2) + 180(20) \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -1.5 \times 400 + 3600 \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -600 + 3600 \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \times 3000 = 30 \, m^3/phút
   $$
   **Kết luận**: Đúng.

3. **Câu c**: Trong 30 phút đầu, thể tích nước lớn nhất trong bể là $ 675 \, m^3 $.

Để tìm giá trị lớn nhất trong khoảng $ [0, 30] $, ta cần tìm các điểm cực trị của $ V(t) $. Tính $ V&#x27;(t) = 0 $:
   $$
   -1.5t^2 + 180t = 0 \implies t(180 - 1.5t) = 0
   $$
   $$
   t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{180}{1.5} = 120
   $$
   Trong khoảng $ [0, 30] $, ta cần kiểm tra $ V(0), V(30) $:
   $$
   V(0) = 0
   $$
   $$
   V(30) = \frac{1}{100} \left( -0.5(30^3) + 90(30^2) \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -0.5 \times 27000 + 90 \times 900 \right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{100} \left( -13500 + 81000 \right) = \frac{1}{100} \times 67500 = 675 \, m^3
   $$
   **Kết luận**: Đúng.

4. **Câu d**: Tốc độ bơm nước cao nhất là $ 60 \, m^3/phút $.

Tìm giá trị lớn nhất của $ V&#x27;(t) $:
   Tính:
   $$
   v(t) = \frac{1}{100}(-1.5t^2 + 180t)
   $$
   Tìm cực trị bằng cách tính $ V&#x27;&#x27;(t) $:
   $$
   V&#x27;&#x27;(t) = \frac{1}{100}(-3t + 180)
   $$
   Tìm $ V&#x27;&#x27;(t) = 0 $:
   $$
   -3t + 180 = 0 \implies t = 60
   $$
   Kiểm tra giá trị:
   $$
   v(60) = \frac{1}{100}(-1.5(60^2) + 180(60))
   $$
   $$
   = \frac{1}{100}(-1.5 \times 3600 + 10800) = \frac{1}{100}(0) = 0
   $$
   Tìm giá trị tại các đầu mút:
   $$
   v(0) = 0 \quad \text{và} \quad v(120) = 0
   $$
   Tính $ v(30) $:
   $$
   v(30) = \frac{1}{100}(-1.5(30^2) + 180(30)) = \frac{1}{100}(6750) = 67.5 \, m^3/phút
   $$
   Giá trị cực đại trong khoảng này có thể lớn hơn 60 nhưng không có giá trị nào thực tế là 60.

**Kết luận**: Sai.

Tóm tắt:
- a) Sai
- b) Đúng
- c) Đúng
- d) Sai