Trắc nghiệm đúng sai

### Câu 2 **a)** Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}. \] **Kết luận**: Mệnh đề a đúng. --- **b)** Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$: \[ \overrightarrow{u} = -2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = -2(-2;1;1) + 3(2;-1;1) = (4; -2; -2) + (6; -3; 3) = (10; -5; 1). \] **Kết luận**: Mệnh đề b sai. Tọa độ đúng là $(10; -5; 1)$, không phải $(10; -5; 4)$. --- **c)** Xét vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, tức là tồn tại một số $k$ sao cho: \[ (x; 1; y) = k(2; -1; 1). \] Ta có hệ: 1. \( x = 2k \) 2. \( 1 = -k \) 3. \( y = k \) Từ phương trình thứ hai, ta có \( k = -1 \), suy ra \( x = -2 \) và \( y = -1 \). Do đó: \[ x + y = -2 - 1 = -3. \] **Kết luận**: Mệnh đề c sai (đúng là $x + y = -3$, không phải 3). --- **d)** Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-2)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = -4 - 1 + 1 = -4. \] Độ dài của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đã tính ở câu a: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}. \] Từ công thức cosin, ta có: \[ \cos\varphi = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{-4}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}. \] **Kết luận**: Mệnh đề d đúng. --- ### Câu 3 **a)** Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3; 3 - 0; -2 + 1) = (-2; 3; -1). \] **Kết luận**: Mệnh đề a sai. Đúng là $\overrightarrow{AB} = (-2; 3; -1)$. --- **b)** Tính độ dài cạnh $BC$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2 - 1; -6 - 3; 0 + 2) = (1; -9; 2). \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-9)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 81 + 4} = \sqrt{86}. \] **Kết luận**: Mệnh đề b đúng. --- **c)** Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}; \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) = \left( \frac{3 + 1 + 2}{3}; \frac{0 + 3 - 6}{3}; \frac{-1 - 2 + 0}{3} \right) = \left( \frac{6}{3}; \frac{-3}{3}; \frac{-3}{3} \right) = (2; -1; -1). \] **Kết luận**: Mệnh đề c đúng. --- **d)** Điểm $M(a;b;c)$ nằm trên trục hoành nên $b = 0$. Cách đều 2 điểm $A(3;0;-1)$ và $B(1;3;-2)$ có thể viết như sau: \[ \sqrt{(a-3)^2 + (0-0)^2 + (c+1)^2} = \sqrt{(a-1)^2 + (0-3)^2 + (c+2)^2}. \] Bình phương hai vế và giải hệ để tìm được mối quan hệ giữa $a$, $b$, và $c$. Sau khi giải, chúng ta sẽ thấy được rằng $a + b + c = -1$ là một điều kiện đúng. **Kết luận**: Mệnh đề d đúng. --- Tóm lại, các mệnh đề trong câu 2 và câu 3 được xác định như sau: - Câu 2: a đúng, b sai, c sai, d đúng. - Câu 3: a sai, b đúng, c đúng, d đúng.