Giúp mình với! Câu 4. Đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+2$ có hai điểm cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O tạo,thành một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?,Câu 5. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ,biển một khoảng $AB=5~km.$ Trên bờ biển có một,cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng 7km.,,Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến,điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ,thẳng đến C với vận tốc 6km/h. Xác định khoảng,cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho,nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Question

Giúp mình với! Câu 4. Đồ thị hàm số $y=x^3-6x^2+2$ có hai điểm cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O tạo,thành một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?,Câu 5. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ,biển một khoảng $AB=5~km.$ Trên bờ biển có một,cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng 7km.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/44583e008a0e43e1b5a1df3753517f21.jpg />,Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến,điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ,thẳng đến C với vận tốc 6km/h. Xác định khoảng,cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho,nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Huycindy · Accepted Answer

Câu $4:$
$y = x^3 - 6x^2 + 2$
$y&#x27; = 3x^2 - 12x$
Xét hàm số $y&#x27; = 0$
$3x^2 - 12x = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= 0 \ x &= 4 \end{aligned} ight.$
Với $x = 0$ thì $y = 2$
$A(0; 2)$
Với $x = 4$ thì $y = -30$
$B(4; -30)$
Diện tích tam giác $OAB$ tạo với gốc tọa độ $O(0; 0)$ là
$S = \dfrac{1}{2} . \vert{}x_A . y_B - x_B . y_A\vert{}$
$S = \dfrac{1}{2} . \vert{}0 . (-30) - 4 . 2\vert{}$
$S = 4$
Câu $5:$
Đặt khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $B$ là $x (km), (0 \leq x \leq 7)$
Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $C$ là: $MC = 7 - x$
Khoảng cách từ điểm $A$ đến điểm $M$:
$AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{5^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 25}$
Thời gian người đó đi từ $A$ đến $C$ là
$t(x) = \dfrac{3\sqrt{x^2 + 25} + 2(7 - x)}{12}$
Ta có đạo hàm hàm thời gian là
$t&#x27;(x) = \dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 25}} - \dfrac{1}{6}$
$t&#x27;(x) = 0$
$\dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 25}} - \dfrac{1}{6} = 0$
$\dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 25}} = \dfrac{1}{6}$
$6x = 4\sqrt{x^2 + 25}$
$3x = 2\sqrt{x^2 + 25}$
$9x^2 = 4(x^2 + 25)$
$9x^2 = 4x^2 + 100$
$5x^2 = 100$
$x^2 = 20$
$\left[ \begin{aligned} x &= 2\sqrt{5} \ x &= -2\sqrt{5} \end{aligned} ight.$
BBT:$\$
$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & 2\sqrt{5} & & 7 \ \hline t&#x27;(x) & & - & 0 & + & \ \hline & \dfrac{29}{12} & & & & \dfrac{\sqrt{74}}{4} \ & & \searrow & & 
earrow & \ t(x) & & & \dfrac{3\sqrt{5} + 14}{12} & & \end{array}$
Thời gian người đó đến kho nhanh nhất khi khoảng cách là $x = 2\sqrt{5} \approx 4,47$

Timi · Answer

**Câu 4:**

Để tìm diện tích tam giác OAB, trước tiên chúng ta cần tìm các điểm cực trị A và B của hàm số $ y = x^3 - 6x^2 + 2 $.

1. **Tìm đạo hàm:**
   $$
   y&#x27; = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)
   $$

2. **Tìm các điểm cực trị:**
   Đặt đạo hàm bằng 0:
   $$
   3x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 4
   $$

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:**
   - Tại $ x = 0 $:
     $$
     y(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 2 = 2 \quad \text{(Điểm A: (0, 2))}
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 2 = 64 - 96 + 2 = -30 \quad \text{(Điểm B: (4, -30))}
     $$

4. **Tìm diện tích tam giác OAB:**
   Các điểm O, A và B có tọa độ là:
   - $ O(0, 0) $
   - $ A(0, 2) $
   - $ B(4, -30) $

Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
   $$
   S = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
   $$
   Thay tọa độ vào công thức:
   $$
   S = \frac{1}{2} \times |0(2 - (-30)) + 0((-30) - 0) + 4(0 - 2)|
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} \times |0 + 0 + 4 \cdot (-2)|
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} \times | -8 | = \frac{8}{2} = 4
   $$

Vậy diện tích tam giác OAB là **4**.

---

**Câu 5:**

Để tìm khoảng cách từ điểm M đến điểm B sao cho thời gian di chuyển là ngắn nhất, ta đặt khoảng cách MB là $ x $ (km). Khi đó, khoảng cách từ A đến M là:
$$
AM = \sqrt{AB^2 + MB^2} = \sqrt{5^2 + x^2} = \sqrt{25 + x^2}
$$

Thời gian từ A đến M:
$$
t_1 = \frac{\sqrt{25 + x^2}}{4}
$$

Khoảng cách từ M đến C là:
$$
MC = 7 - x \quad (C nằm bên phải B)
$$
Thời gian từ M đến C:
$$
t_2 = \frac{7 - x}{6}
$$

Tổng thời gian T:
$$
T = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{25 + x^2}}{4} + \frac{7 - x}{6}
$$

Để tìm x tối ưu, ta tính đạo hàm T và tìm giá trị x sao cho $ T&#x27; = 0 $.

1. Tính $ T&#x27; $:
   $$
   T&#x27; = \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{25+x^2}} - \frac{1}{6}
   $$

2. Đặt $ T&#x27; = 0 $:
   $$
   \frac{1}{4} \cdot \frac{x}{\sqrt{25+x^2}} = \frac{1}{6}
   $$
   $$
   \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{25+x^2}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
   $$
   $$
   \Rightarrow 3x = 2\sqrt{25+x^2}
   $$

3. Bình phương hai vế:
   $$
   9x^2 = 4(25 + x^2)
   $$
   $$
   9x^2 = 100 + 4x^2 \implies 5x^2 = 100 \implies x^2 = 20 \implies x = \sqrt{20} \approx 4.47 \text{ km}
   $$

Khoảng cách từ điểm M đến điểm B là khoảng **4.47 km** (làm tròn đến hàng phần trăm).