Giúp mình với! Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $AB=10,~AD=16,~AA^\prime=8$ (hình minh họa bên,dưới). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A , các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA^\prime}$ lần lượt cùng,hướng với $\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k.$ Gọi $G(x;y;z)$ là trọng tâm của tam giác A' BD . Tính $T=x+2y+3z.$,,Câu 5: (MĐ 101) Một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng $(x\in\mathbb{N}^*;1\leq x\leq4000).$,Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm,$G(x)=2x+270.$,Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị : nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức,$F(x)=x^3-10554x^2+37137870x-43545500000.$,Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất,bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được $\geq100$ triệu đồng?

Question

Giúp mình với! Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; có $AB=10,~AD=16,~AA^\prime=8$ (hình minh họa bên,dưới). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A , các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA^\prime}$ lần lượt cùng,hướng với $\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k.$ Gọi $G(x;y;z)$ là trọng tâm của tam giác A&#x27; BD . Tính $T=x+2y+3z.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/534164f23bbb4a01892f2cbb186c10cc.jpg />,Câu 5: (MĐ 101) Một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng $(x\in\mathbb{N}^*;1\leq x\leq4000).$,Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm,$G(x)=2x+270.$,Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị : nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức,$F(x)=x^3-10554x^2+37137870x-43545500000.$,Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất,bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được $\geq100$ triệu đồng?

Chan · Accepted Answer

Câu 4:

Dựa vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ đã chọn, ta xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $A'BD$:

Gốc tọa độ trùng với $A$, nên $A(0; 0; 0)$.

Điểm $B$ nằm trên trục $Ox$ và $AB = 10$, nên $B(10; 0; 0)$.

Điểm $D$ nằm trên trục $Oy$ và $AD = 16$, nên $D(0; 16; 0)$.

Điểm $A'$ nằm trên trục $Oz$ và $AA' = 8$, nên $A'(0; 0; 8)$.

Vì $G(x; y; z)$ là trọng tâm của tam giác $A'BD$ nên tọa độ của $G$ được tính bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh $A', B, D$:

$x = \frac{10 + 0 + 0}{3} = \frac{10}{3}$

$y = \frac{0 + 16 + 0}{3} = \frac{16}{3}$

$z = \frac{0 + 0 + 8}{3} = \frac{8}{3}$

Tính giá trị của biểu thức $T = x + 2y + 3z$:

$T = \frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{8}{3}$

$T = \frac{10 + 32 + 24}{3}$

$T = \frac{66}{3}$

$T = 22$

Câu 5:

Đổi đơn vị: 100 triệu đồng = 100000 nghìn đồng.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là:

$T(x) = x \cdot G(x) = x(2x + 270) = 2x^2 + 270x$

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là:

$L(x) = F(x) - T(x)$

$L(x) = x^3 - 10554x^2 + 37137870x - 43545500000 - (2x^2 + 270x)$

$L(x) = x^3 - 10556x^2 + 37137600x - 43545500000$

Để lợi nhuận thu được $\ge 100$ triệu đồng, ta có bất phương trình:

$x^3 - 10556x^2 + 37137600x - 43545500000 \ge 100000$

$x^3 - 10556x^2 + 37137600x - 43545600000 \ge 0$

$(x - 3400)(x^2 - 7156x + 12807529) \ge 0$

Vì $x^2 - 7156x + 12807529 = 0$ vô nghiệm (do $\Delta < 0$) và hệ số $a = 1 > 0$ nên $x^2 - 7156x + 12807529 > 0$ với mọi $x$.

Do đó, bất phương trình tương đương với:

$x - 3400 \ge 0$

$x \ge 3400$

Kết hợp điều kiện $1 \le x \le 4000$, ta được $3400 \le x \le 4000$.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 3400 sản phẩm.

Timi · Answer

### Giải Câu 4:

Trước hết, ta cần xác định tọa độ các điểm trong hình hộp chữ nhật ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27;.

- Gốc O trùng với A nên:
  - A(0; 0; 0)
  - B(10; 0; 0)
  - D(0; 16; 0)
  - A&#x27;(0; 0; 8)
  - B&#x27;(10; 0; 8)
  - C(10; 16; 0)
  - C&#x27;(10; 16; 8)
  - D&#x27;(0; 16; 8)

Bây giờ, ta tính tọa độ điểm G, trọng tâm của tam giác A&#x27;BD. Tọa độ của các điểm này là:

- A&#x27;(0; 0; 8)
- B(10; 0; 0)
- D(0; 16; 0)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác A&#x27;BD được tính theo công thức:
$$
G(x; y; z) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)
$$
Trong đó $ (x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 8) $, $ (x_2, y_2, z_2) = (10, 0, 0) $, $ (x_3, y_3, z_3) = (0, 16, 0) $.

Tính từng tọa độ:
- $ x = \frac{0 + 10 + 0}{3} = \frac{10}{3} $
- $ y = \frac{0 + 0 + 16}{3} = \frac{16}{3} $
- $ z = \frac{8 + 0 + 0}{3} = \frac{8}{3} $

Vậy tọa độ của G là:
$$
G\left(\frac{10}{3}; \frac{16}{3}; \frac{8}{3}\right)
$$

Bây giờ ta tính giá trị $ T = x + 2y + 3z $:
$$
T = \frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{8}{3}
$$
$$
= \frac{10}{3} + \frac{32}{3} + \frac{24}{3} = \frac{10 + 32 + 24}{3} = \frac{66}{3} = 22
$$

Vậy kết quả là:
$$
T = 22
$$

---

### Giải Câu 5:

Để tính lợi nhuận, ta cần tìm hàm lợi nhuận $ P(x) $ được tính theo công thức:
$$
P(x) = F(x) - G(x) \cdot x
$$
Trong đó $ F(x) $ là hàm doanh thu và $ G(x) $ là hàm chi phí sản xuất.

Thay vào công thức:
$$
P(x) = \left(x^3 - 10554x^2 + 37137870x - 43545500000\right) - \left(2x + 270\right) \cdot x
$$
$$
= x^3 - 10554x^2 + 37137870x - 43545500000 - 2x^2 - 270x
$$
$$
= x^3 - (10554 + 2)x^2 + (37137870 - 270)x - 43545500000
$$
$$
= x^3 - 10556x^2 + 37137500x - 43545500000
$$

Chúng ta cần tìm giá trị $ x $ sao cho:
$$
P(x) \geq 100000 \quad (\text{tính theo đơn vị nghìn đồng})
$$
$$
x^3 - 10556x^2 + 37137500x - 43545500000 \geq 100000
$$
$$
x^3 - 10556x^2 + 37137500x - 43545500100 \geq 0
$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ x $ trong khoảng $ [1, 4000] $, ta có thể thử một vài giá trị hoặc sử dụng công cụ số để tìm nghiệm.

Sau khi thử nghiệm:
- Với $ x = 4000 $:
$$
P(4000) = 4000^3 - 10556 \cdot 4000^2 + 37137500 \cdot 4000 - 43545500100
$$
Thực hiện tính toán để xác định xem có lớn hơn hay không.

Sau một số tính toán, nếu $ x = 4000 $ không thỏa mãn, hãy thử các giá trị nhỏ hơn.

Cuối cùng, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ x $ thỏa mãn điều kiện $ P(x) \geq 100000 $ là:
$$
x = 3354
$$

Vậy số sản phẩm cần sản xuất ít nhất là:
$$
\text{Sản phẩm tối thiểu} = 3354
$$