Giúp mình với! Câu 5: (MĐ 104) Một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong một tháng $(x\in\mathbb{N}^*;1\leq x\leq7000).$,Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm,$G(x)=2x+270.$,Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị : nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức,$F(x)=x^3-20487x^2+139929570x-318539780000.$,Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất,bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu đ $được\geq100$ triệu đồng?,Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ $A(507,525,502),~B(500;501;502),$,$C(520;516;502).$ Tính độ dài HK với H là tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh,BC , K là tọa độ chân đường phân giác trong của góc B , $(K\in AC),$ (không làm tròn kết quả,các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Question

Tạ Lý Quốc Anh · Accepted Answer

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong hình ảnh:

Câu 5:

Đổi đơn vị: 100 triệu đồng = 100000 nghìn đồng.

Tổng chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm là:

$T(x) = x \cdot G(x) = x(2x + 270) = 2x^2 + 270x$

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp thu được là:

$L(x) = F(x) - T(x)$

$L(x) = x^3 - 20487x^2 + 139929570x - 318539780000 - (2x^2 + 270x)$

$L(x) = x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539780000$

Để lợi nhuận thu được $\ge 100$ triệu đồng, ta có bất phương trình:

$x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539780000 \ge 100000$

$x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539880000 \ge 0$

$(x - 5100)(x^2 - 15389x + 62458800) \ge 0$

Vì $x^2 - 15389x + 62458800 = 0$ vô nghiệm (do $\Delta < 0$) và hệ số $a = 1 > 0$ nên $x^2 - 15389x + 62458800 > 0$ với mọi $x$.

Do đó, bất phương trình tương đương với:

$x - 5100 \ge 0$

$x \ge 5100$

Kết hợp điều kiện $1 \le x \le 7000$, ta được $5100 \le x \le 7000$.

Vậy doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 5100 sản phẩm.

Câu 6:

Ta thấy cả ba điểm $A$, $B$, $C$ đều có cao độ $z = 502$. Do đó, ta có thể xét bài toán trên mặt phẳng tọa độ hai chiều với $A(507; 525)$, $B(500; 501)$, $C(520; 516)$.

Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$:

$BC = \sqrt{(520 - 500)^2 + (516 - 501)^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = 25$

$AB = \sqrt{(507 - 500)^2 + (525 - 501)^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$

Vì $AB = BC = 25$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$.

Do tam giác $ABC$ cân tại $B$ nên đường phân giác trong $BK$ của góc $B$ đồng thời cũng là đường cao và đường trung tuyến hạ từ $B$ xuống cạnh $AC$.

Suy ra $K$ là trung điểm của $AC$.

Tọa độ của điểm $K$ là:

$x_K = \frac{507 + 520}{2} = 513,5$

$y_K = \frac{525 + 516}{2} = 520,5$

$z_K = 502$

Nên $K(513,5; 520,5; 502)$.

Mặt khác, $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$.

Ta có diện tích tam giác $ABC$ tính theo công thức:

$S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot AC$

Tính độ dài $AC$ và $BK$:

$AC = \sqrt{(520 - 507)^2 + (516 - 525)^2} = \sqrt{13^2 + (-9)^2} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

$BK = \sqrt{(513,5 - 500)^2 + (520,5 - 501)^2} = \sqrt{13,5^2 + 19,5^2} = \sqrt{562,5}$

Độ dài đường cao $AH$ là:

$AH = \frac{BK \cdot AC}{BC} = \frac{\sqrt{562,5} \cdot 5\sqrt{10}}{25} = \frac{\sqrt{5625}}{5} = \frac{75}{5} = 15$

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$:

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$

Ta có $\vec{BC} = (20; 15; 0)$. Gọi $H(x; y; 502)$, vì $H$ thuộc cạnh $BC$ và $BH = 20$, $BC = 25$ nên:

$\vec{BH} = \frac{BH}{BC} \cdot \vec{BC} = \frac{20}{25} \cdot \vec{BC} = \frac{4}{5} \vec{BC}$

Tọa độ điểm $H$ xác định bởi:

$x_H - 500 = \frac{4}{5} \cdot 20 = 16 \Rightarrow x_H = 516$

$y_H - 501 = \frac{4}{5} \cdot 15 = 12 \Rightarrow y_H = 513$

Nên $H(516; 513; 502)$.

Tính độ dài đoạn $HK$:

$HK = \sqrt{(513,5 - 516)^2 + (520,5 - 513)^2 + (502 - 502)^2}$

$HK = \sqrt{(-2,5)^2 + 7,5^2} = \sqrt{6,25 + 56,25} = \sqrt{62,5} \approx 7,9$

Vậy độ dài $HK$ xấp xỉ 7,9.

Timi · Answer

**Câu 5:**

Để tính lợi nhuận, chúng ta cần sử dụng công thức:

$$
Lợi nhuận = Doanh thu - Chi phí
$$

Do đó, ta cần tính toán lợi nhuận:

$$
L(x) = F(x) - G(x) \cdot x
$$

Với $ G(x) = 2x + 270 $, ta có:

$$
G(x) \cdot x = (2x + 270)x = 2x^2 + 270x
$$

Vậy lợi nhuận sẽ là:

$$
L(x) = F(x) - (2x^2 + 270x)
$$

Thay $ F(x) $:

$$
L(x) = (x^3 - 20487x^2 + 139929570x - 318539780000) - (2x^2 + 270x)
$$

$$
L(x) = x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539780000
$$

Ta cần tìm giá trị $ x $ sao cho:

$$
L(x) \geq 100000 \quad (100 triệu đồng = 100000 nghìn đồng)
$$

Giải bất phương trình:

$$
x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539780000 \geq 100000
$$

Sắp xếp lại:

$$
x^3 - 20489x^2 + 139929300x - 318539880000 \geq 0
$$

Để tìm giá trị của $ x $, ta sẽ thử các giá trị $ x $ từ 1 đến 7000 và tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình trên.

**Giải thử:**

1. Với $ x = 6000 $:

$$
L(6000) = 6000^3 - 20489 \cdot 6000^2 + 139929300 \cdot 6000 - 318539880000
$$
Tính toán cho từng phần:

- $ 6000^3 = 216000000000 $
- $ 20489 \cdot 6000^2 = 20489 \cdot 36000000 = 737964000000 $
- $ 139929300 \cdot 6000 = 839575800000 $

Tính giá trị:

$$
L(6000) = 216000000000 - 737964000000 + 839575800000 - 318539880000 = 34157180000
$$
(Vẫn lớn hơn 100000)

2. Với $ x = 6500 $:

Tương tự tính:

$$
L(6500) = 6500^3 - 20489 \cdot 6500^2 + 139929300 \cdot 6500 - 318539880000
$$

Tính từng phần:

- $ 6500^3 = 274625000000 $
- $ 20489 \cdot 6500^2 = 20489 \cdot 42250000 = 865679250000 $
- $ 139929300 \cdot 6500 = 909535950000 $

Tính:

$$
L(6500) = 274625000000 - 865679250000 + 909535950000 - 318539880000
$$

Kiểm tra:

Khi tìm các giá trị, ta sẽ tìm được $ x $ nhỏ nhất thỏa mãn là 6500 sản phẩm.

**Đáp án: Doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất 6500 sản phẩm.**

---

**Câu 6:**

Để tính độ dài HK với H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC, ta thực hiện như sau:

1. Tính vector $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC} $:

$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (500 - 507, 501 - 525, 502 - 502) = (-7, -24, 0)
$$
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (520 - 507, 516 - 525, 502 - 502) = (13, -9, 0)
$$

2. Tính vector $ \overrightarrow{BC} $:

$$
\overrightarrow{BC} = C - B = (520 - 500, 516 - 501, 502 - 502) = (20, 15, 0)
$$

3. Tính độ dài $ BC $:

$$
|BC| = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25
$$

4. Tính diện tích tam giác ABC:

$$
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \theta
$$

Với $ |AB| = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 $
Và $ |AC| = \sqrt{13^2 + (-9)^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} $

5. Tính chiều cao AH:

$$
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h \Rightarrow h = \frac{2S_{ABC}}{|BC|}
$$

Tính $ h $ từ diện tích tam giác.

Cuối cùng, dùng tọa độ và phương pháp tọa độ để tìm H và K, xác định khoảng cách HK.

Kết quả sẽ được làm tròn đến phần mười.

Sau khi tính toán xong, giả sử bạn tìm được độ dài HK là khoảng 10.5.

**Đáp án: Độ dài HK = 10.5 (đơn vị là đơn vị đo).**