« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $8$
$...$ Tìm GTLN của C biết.,$C=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8$

Question

Bao The Whale · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $ C = -x^2 + 2xy - 4y^2 + 2x + 10y - 8 $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định hình dạng của hàm:** 
   Hàm bậc hai theo biến $ x $ có dạng:
   $$
   C = -x^2 + (2y + 2)x + (-4y^2 + 10y - 8)
   $$
   Trong đó, các hệ số của $ x $ là:
   - $ a = -1 $ (hệ số của $ x^2 $)
   - $ b = 2y + 2 $ (hệ số của $ x $)
   - $ c = -4y^2 + 10y - 8 $ (hằng số)

2. **Xác định giá trị của $ x $ tại điểm cực trị:** 
   Hàm số sẽ đạt cực đại khi:
   $$
   x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2y + 2}{2(-1)} = \frac{2y + 2}{2} = y + 1
   $$

3. **Thay $ x $ vào biểu thức C để tìm giá trị lớn nhất:**
   Thay $ x = y + 1 $ vào $ C $:
   $$
   C = - (y + 1)^2 + 2(y + 1)y - 4y^2 + 2(y + 1) + 10y - 8
   $$

Tính $ (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1 $:
   $$
   C = - (y^2 + 2y + 1) + 2(y^2 + y) - 4y^2 + 2y + 2 + 10y - 8
   $$

Giản lược:
   $$
   C = -y^2 - 2y - 1 + 2y^2 + 2y - 4y^2 + 2y + 2 + 10y - 8
   $$
   $$
   C = (-y^2 + 2y^2 - 4y^2) + (-2y + 2y + 2y + 10y) + (-1 + 2 - 8)
   $$
   $$
   C = -3y^2 + 12y - 7
   $$

4. **Tìm giá trị lớn nhất của hàm bậc hai theo $ y $:**
   Hàm bậc hai $ -3y^2 + 12y - 7 $ sẽ đạt cực đại tại:
   $$
   y = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-3)} = \frac{12}{6} = 2
   $$

5. **Thay giá trị $ y = 2 $ vào biểu thức C:**
   $$
   C = -3(2)^2 + 12(2) - 7
   $$
   $$
   C = -3 \cdot 4 + 24 - 7
   $$
   $$
   C = -12 + 24 - 7 = 5
   $$

Vậy, giá trị lớn nhất của $ C $ là $ \boxed{5} $.

Huycindy · Answer

$C = -x^2 + 2xy - 4y^2 + 2x + 10y - 8$
$C = -(x^2 - 2xy - 2x) - 4y^2 + 10y - 8$
$C = -[x^2 - 2x(y + 1) + (y + 1)^2] + (y + 1)^2 - 4y^2 + 10y - 8$
$C = -(x - y - 1)^2 + y^2 + 2y + 1 - 4y^2 + 10y - 8$
$C = -(x - y - 1)^2 - 3y^2 + 12y - 7$
$C = -(x - y - 1)^2 - 3(y^2 - 4y + 4) + 5$
$C = -(x - y - 1)^2 - 3(y - 2)^2 + 5$
Vì $-(x - y - 1)^2 \leq 0$ $\forall x, y$
và $-3(y - 2)^2 \leq 0$ $\forall y$
nên $C \leq 5$ $\forall x, y$
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} x - y - 1 = 0 \ y - 2 = 0 \end{cases} 
\begin{cases} x = 3 \ y = 2 \end{cases}$
$\max C = 5$ khi $\begin{cases} x = 3 \ y = 2 \end{cases}$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$$C=-x^2+2xy-4y^2+2x+10y-8$$

$$=-\left(x^2-2xy-2x ight)-4y^2+10y-8$$

$$=-\left\lbrack x^2-2x\left(y+1 ight)+\left(y+1 ight)^2 ight brack+\left(y+1 ight)^2-4y^2+10y-8$$

$$=-\left(x-y-1 ight)^2+\left(y^2+2y+1 ight)-4y^2+10y-8$$

$$=-\left(x-y-1 ight)^2-3y^2+12y-7$$

$$=-\left(x-y-1 ight)^2-3\left(y^2-4y+4 ight)+12-7$$

$$=-\left(x-y-1 ight)^2-3\left(y-2 ight)^2+5\le5$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$\begin{cases}\left(y-2 ight)^2=0 \ \left(x-y-1 ight)^2=0\end{cases}$$

$$\begin{cases}y-2=0 \ x-y-1=0\end{cases}$$

$$\begin{cases}y=2 \ x=3\end{cases}$$

Vậy $$\max C=5$$ khi $$x=3;y=2$$.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ $...$