« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Cho $a_1;a_2;...;a_{2016}$ là 2016 số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để,$a^5_1+a^5_2+a^5_3+...+a^5_{2016}.$ :30 là $a_1+a_2+...+a_{2016}:30$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Xét hiệu $A = (a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + \dots + a_{2016}^5) - (a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2016})$
$A = (a_1^5 - a_1) + (a_2^5 - a_2) + \dots + (a_{2016}^5 - a_{2016})$
Xét $a_i^5 - a_i$ với $a_i$ là số nguyên dương, $\forall i \in \{1; 2; \dots; 2016\}$
$a_i^5 - a_i = a_i(a_i^4 - 1)$
$a_i^5 - a_i = a_i(a_i^2 - 1)(a_i^2 + 1)$
$a_i^5 - a_i = a_i(a_i - 1)(a_i + 1)(a_i^2 - 4 + 5)$
$a_i^5 - a_i = a_i(a_i - 1)(a_i + 1)(a_i^2 - 4) + 5a_i(a_i - 1)(a_i + 1)$
$a_i^5 - a_i = (a_i - 2)(a_i - 1)a_i(a_i + 1)(a_i + 2) + 5(a_i - 1)a_i(a_i + 1)$
Do $(a_i - 2)(a_i - 1)a_i(a_i + 1)(a_i + 2)$ là tích của $5$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $2$, $3$, $5$
Mà $2$, $3$, $5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $(a_i - 2)(a_i - 1)a_i(a_i + 1)(a_i + 2) \,\,\vdots \,\, 30$
Do $(a_i - 1)a_i(a_i + 1)$ là tích của $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $6$
$5(a_i - 1)a_i(a_i + 1) \,\,\vdots \,\, (5 \cdot 6) = 30$
$a_i^5 - a_i \,\,\vdots \,\, 30, \forall i \in \{1; 2; \dots; 2016\}$
$A \,\,\vdots \,\, 30$
$(a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + \dots + a_{2016}^5) - (a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2016}) \,\,\vdots \,\, 30$
$a_1^5 + a_2^5 + a_3^5 + \dots + a_{2016}^5 \equiv a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{2016} \pmod{30}$

Timi · Answer

Để chứng minh điều kiện cần và đủ cho $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 30 \mod 30 $ là $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} \equiv 30 \mod 30 $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Phân tích modulo 30
Ta biết rằng $ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $. Do đó, chúng ta cần chứng minh cả hai điều kiện sau:
1. $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 0 \mod 2 $
2. $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 0 \mod 3 $
3. $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 0 \mod 5 $

### Bước 2: Chứng minh các điều kiện
#### Điều kiện 1: Modulo 2
- Nếu $ a_i $ là số chẵn thì $ a_i^5 \equiv 0 \mod 2 $.
- Nếu $ a_i $ là số lẻ thì $ a_i^5 \equiv 1 \mod 2 $.
- Do đó, tổng $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 $ sẽ là chẵn nếu số lượng các số lẻ trong $ a_1, a_2, \ldots, a_{2016} $ là chẵn. 
- Điều này đồng nghĩa với việc tổng $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} $ cũng phải chẵn.

#### Điều kiện 2: Modulo 3
- Các số nguyên dương $ a_i $ sẽ có ba trường hợp:
  - Nếu $ a_i \equiv 0 \mod 3 $ thì $ a_i^5 \equiv 0 \mod 3 $.
  - Nếu $ a_i \equiv 1 \mod 3 $ thì $ a_i^5 \equiv 1 \mod 3 $.
  - Nếu $ a_i \equiv 2 \mod 3 $ thì $ a_i^5 \equiv 2 \mod 3 $.
- Tổng $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv k_1 + 2k_2 \mod 3 $, trong đó $ k_1, k_2 $ là số lượng các số tương ứng.
- Nếu tổng $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} \equiv 0 \mod 3 $ thì tổng $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 $ cũng phải tương ứng với điều kiện trên.

#### Điều kiện 3: Modulo 5
- Tương tự, xét theo từng trường hợp modulo 5:
  - Nếu $ a_i \equiv 0 \mod 5 $ thì $ a_i^5 \equiv 0 \mod 5 $.
  - Nếu $ a_i \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 $ thì $ a_i^5 \equiv 1, 2, 3, 4 \mod 5 $.
- Từ đó, ta sẽ thấy rằng nếu $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} \equiv 0 \mod 5 $, thì $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 0 \mod 5 $.

### Kết luận
Từ ba điều kiện trên, ta có thể kết luận rằng:

- $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 0 \mod 30 $ nếu và chỉ nếu $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} \equiv 0 \mod 30 $.

Vậy điều kiện cần và đủ đã được chứng minh.

**Đáp án:** Chứng minh rằng $ a_1^5 + a_2^5 + \ldots + a_{2016}^5 \equiv 30 \mod 30 $ là $ a_1 + a_2 + \ldots + a_{2016} \equiv 30 \mod 30 $ là đúng.

keisuke✚ · Answer

Xét hiệu với $a$ là một số nguyên dương bất kỳ:

$a^5 - a = a(a^4 - 1)$

$= a(a^2 - 1)(a^2 + 1)$

$= a(a - 1)(a + 1)(a^2 - 4 + 5)$

$= a(a - 1)(a + 1)(a^2 - 4) + 5a(a - 1)(a + 1)$

$= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)$

Vì $(a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2)$ là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 5 và 6.

Do 5 và 6 nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 30.

Vì $(a - 1)a(a + 1)$ là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.

Suy ra $5(a - 1)a(a + 1)$ chia hết cho 30.

Do đó, $(a^5 - a)$ luôn chia hết cho 30 với mọi số nguyên dương $a$.

Áp dụng vào bài toán, xét hiệu:

$(a_1^5 + a_2^5 + \dots + a_{2016}^5) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{2016}) = (a_1^5 - a_1) + (a_2^5 - a_2) + \dots + (a_{2016}^5 - a_{2016})$

Vì mỗi số hạng $(a_i^5 - a_i)$ với $i$ chạy từ 1 đến 2016 đều chia hết cho 30 nên tổng các hiệu này chia hết cho 30.

Suy ra hiệu $(a_1^5 + a_2^5 + \dots + a_{2016}^5) - (a_1 + a_2 + \dots + a_{2016})$ chia hết cho 30.

Khi đó, nếu $(a_1^5 + a_2^5 + \dots + a_{2016}^5)$ chia hết cho 30 thì $(a_1 + a_2 + \dots + a_{2016})$ chia hết cho 30.

Ngược lại, nếu $(a_1 + a_2 + \dots + a_{2016})$ chia hết cho 30 thì $(a_1^5 + a_2^5 + \dots + a_{2016}^5)$ chia hết cho 30.

Vậy điều kiện cần và đủ để $a_1^5 + a_2^5 + \dots + a_{2016}^5$ chia hết cho 30 là $a_1 + a_2 + \dots + a_{2016}$ chia hết cho 30.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$