« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một. ### a) Rút gọn biểu thức \( P \) Ta có biểu thức: \[ P = \frac{1}{x+5} - \frac{x}{5-x} + \frac{35-x^2}{x^2-25} \] Trước tiên, chúng ta sẽ rút gọn từng phần. 1. **Rút gọn phần thứ ba:** Ta có \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \). Vậy \( \frac{35-x^2}{x^2-25} = \frac{35-x^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{-(x^2-35)}{(x-5)(x+5)} \). Chúng ta có thể viết \( 35 - x^2 = -(x^2 - 35) \). Thay vào \( P \): \[ P = \frac{1}{x+5} - \frac{x}{5-x} - \frac{x^2-35}{(x-5)(x+5)} \] 2. **Tìm mẫu chung:** Mẫu chung của các phân số là \( (x+5)(5-x)(x-5) \). 3. **Chuyển tất cả về mẫu chung:** \[ P = \frac{5-x}{(x+5)(5-x)} - \frac{x(x+5)}{(5-x)(x+5)} - \frac{(x^2-35)}{(x-5)(x+5)} \] 4. **Rút gọn biểu thức:** Sau khi đưa về cùng mẫu, ta tiến hành cộng và rút gọn. Sau khi thực hiện đầy đủ các bước, ta có: \[ P = -\frac{(x^2 - 35) + x^2 + 5x}{(x+5)(5-x)} \] Cuối cùng, sau khi rút gọn, ta có: \[ P = -\frac{5x + 35}{(x+5)(5-x)} \] ### b) Tính giá trị của \( P \) tại \( x=2 \) Ta thay \( x = 2 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ P = -\frac{5(2) + 35}{(2+5)(5-2)} = -\frac{10 + 35}{7 \cdot 3} = -\frac{45}{21} = -\frac{15}{7} \] Vậy \( P \) tại \( x=2 \) là \( -\frac{15}{7} \). ### c) Tìm \( x \) để \( P = \frac{1}{2} \) Ta giải phương trình: \[ -\frac{5x + 35}{(x+5)(5-x)} = \frac{1}{2} \] Nhân chéo: \[ -2(5x + 35) = (x+5)(5-x) \] Mở rộng hai vế: \[ -10x - 70 = 5x + 25 - x^2 - 5x \] Rút gọn: \[ -x^2 + 10x + 25 + 70 = 0 \] \[ -x^2 + 10x + 95 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x - 95 = 0 \] Giải phương trình bậc 2: \[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-95)}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 380}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{480}}{2} \] \(\sqrt{480} = 4\sqrt{30}\), do đó: \[ x = \frac{10 \pm 4\sqrt{30}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{30} \] Vậy \( x = 5 + 2\sqrt{30} \) hoặc \( x = 5 - 2\sqrt{30} \). ### Kết luận: a) \( P = -\frac{5x + 35}{(x+5)(5-x)} \) b) \( P \) tại \( x=2 \) là \( -\frac{15}{7} \) c) \( x = 5 \pm 2\sqrt{30} \) để \( P = \frac{1}{2} \).