Giải hộ mình câu này với các bạn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết,$SA=AB=2,\widehat{ADC}=45^0.$ Gọi M là trung điểm của SD .,Kéo ô thích hợp thả vào vị trí tương ứng để hoàn thành các câu sau:,2,5 5 $\frac{4\sqrt2}3$ $\frac{4\sqrt2}6$,Độ dài vectơ $\overrightarrow u=2\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{BM}$ xấp xỉ là,Thể tích hình chóp S.ABCD là (đvtt)

Question

vuthuphuong123 · Accepted Answer

1. Tính độ dài vectơ $\vec{u} = 2\vec{SM} + \vec{AD} - 2\vec{BM}$Biến đổi vectơ:$\vec{u}=2(\vec{SM}-\vec{BM})+\vec{AD}=2\vec{SB}+\vec{AD}$Tính độ dài các cạnh và tích vô hướng:Vì $SA \perp (ABCD)$ nên tam giác $SAB$ vuông tại $A$:$SB^{2}=SA^{2}+AB^{2}=2^{2}+2^{2}=8$Cạnh hình thoi $AD = 2 \implies AD^2 = 4$.Góc $\widehat{ADC} = 45^\circ \implies \widehat{DAB} = 135^\circ$.Tích vô hướng $\vec{SB} \cdot \vec{AD}$:$\vec{SB}\cdot \vec{AD}=(\vec{SA}+\vec{AB})\cdot \vec{AD}=\vec{AB}\cdot \vec{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos (135^{\circ })=2\cdot 2\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2\sqrt{2}$Tính bình phương độ dài vectơ $\vec{u}$:$|\vec{u}|{}^{2}=(2\vec{SB}+\vec{AD})^{2}=4SB^{2}+AD^{2}+4(\vec{SB}\cdot \vec{AD})$$|\vec{u}|{}^{2}=4\cdot 8+4+4\cdot (-2\sqrt{2})=36-8\sqrt{2}\approx 24,69$$\implies |\vec{u}|=\sqrt{36-8\sqrt{2}}\approx 4,97\approx 5$👉 Ô trống thứ nhất điền: 52. Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$Diện tích đáy $ABCD$ (hình thoi):$S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin (\widehat{ADC})=2\cdot 2\cdot \sin (45^{\circ })=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$Thể tích hình chóp:$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2=\frac{4\sqrt{2}}{3}$👉 Ô trống thứ hai điền: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

1. **Tính tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD:**

- Gọi A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0).
   - SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên S(1, 1, 2).

2. **Tính độ dài các đoạn thẳng cần thiết:**

- Đoạn thẳng AD có độ dài: 
     $$
     AD = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = 2
     $$
   - Đoạn thẳng BM có M là trung điểm của SD:
     - Toạ độ D(0, 2, 0) và S(1, 1, 2) => M(0.5, 1.5, 1)

- Đoạn thẳng BM có độ dài:
     $$
     BM = \sqrt{(2-0.5)^2 + (0-1.5)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1.5^2 + (-1.5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2.25 + 2.25 + 1} = \sqrt{5.5}
     $$

3. **Tính vectơ $\overrightarrow{u}$:**

- Đầu tiên tính $\overrightarrow{SM}$:
     $$
     \overrightarrow{SM} = M - S = (0.5, 1.5, 1) - (1, 1, 2) = (-0.5, 0.5, -1)
     $$
   - Tiếp theo là $\overrightarrow{AD}$:
     $$
     \overrightarrow{AD} = D - A = (0, 2, 0) - (0, 0, 0) = (0, 2, 0)
     $$
   - Cuối cùng là $\overrightarrow{BM}$:
     $$
     \overrightarrow{BM} = M - B = (0.5, 1.5, 1) - (2, 0, 0) = (-1.5, 1.5, 1)
     $$

- Bây giờ, tính:
     $$
     2\overrightarrow{SM} = 2 \cdot (-0.5, 0.5, -1) = (-1, 1, -2)
     $$
     $$
     -2\overrightarrow{BM} = -2 \cdot (-1.5, 1.5, 1) = (3, -3, -2)
     $$
   - Sau đó, tính tổng:
     $$
     \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{SM} + \overrightarrow{AD} - 2\overrightarrow{BM} = (-1, 1, -2) + (0, 2, 0) + (3, -3, -2) = (2, 0, -4)
     $$

4. **Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$:**
   $$
   |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
   $$

5. **Tính thể tích hình chóp S.ABCD:**
   Thể tích hình chóp được tính bằng công thức:
   $$
   V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h
   $$
   - Diện tích đáy ABCD là:
     $$
     S_{ABCD} = AB \cdot AD = 2 \cdot 2 = 4
     $$
   - Chiều cao h = SA = 2.
   - Vậy thể tích:
     $$
     V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} \text{(đvtt)}
     $$

**Kết luận:**

- Độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ xấp xỉ là $2\sqrt{5}$.
- Thể tích hình chóp S.ABCD là $\frac{8}{3}$ (đvtt).