« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ $y=x-\frac1{x+1}$,Câu 24. Cho hàm số,a) Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$,b) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại M . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là $y=2x-1$,c) Tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau,d) Để đường thẳng $y=k$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho $OA\bot OB$ khi đó k là nghiệm,của phương trình $k^2-k-1=0$

Question

Kazutora Hanemiya · Accepted Answer

sai đúng sai đúng

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi liên quan đến hàm số $ y = x - \frac{1}{x+1} $.

### a) Tiệm cận đứng của hàm số

Hàm số $ y = x - \frac{1}{x+1} $ có thể bị không xác định khi mẫu bằng 0. Đặt $ x + 1 = 0 $ thì $ x = -1 $. Vậy hàm số có tiệm cận đứng tại $ x = -1 $, không phải $ x = 1 $. Do đó, câu a) là **sai**.

### b) Cắt trục Oy tại M

Để tìm giao điểm với trục Oy, ta đặt $ x = 0 $:
$$
y = 0 - \frac{1}{0+1} = -1.
$$
Vậy điểm M có tọa độ $ (0, -1) $.

Tiếp tuyến tại điểm M sẽ có dạng $ y = mx + b $. Để tìm hệ số góc $ m $, ta tính đạo hàm của hàm số:
$$
\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{(x+1)^2}.
$$
Tại $ x = 0 $:
$$
\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = 1 + \frac{1}{1^2} = 2.
$$
Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là:
$$
y + 1 = 2(x - 0) \implies y = 2x - 1.
$$
Như vậy, câu b) là **đúng**.

### c) Tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc

Hai tiếp tuyến vuông góc khi tích của độ dốc của chúng bằng -1. Gọi độ dốc của hai tiếp tuyến là $ m_1 $ và $ m_2 $. Chúng ta có:
$$
m_1 m_2 = -1.
$$
Để kiểm tra xem có hai giá trị $ m_1 $ và $ m_2 $ thỏa mãn không, ta xem xét hệ số góc tại các điểm mà hàm số có thể có tiếp tuyến. Từ đạo hàm:
$$
m = 1 + \frac{1}{(x+1)^2},
$$
độ dốc $ m $ không thể âm, nên không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc. Do đó, câu c) là **sai**.

### d) Điều kiện cho đường thẳng $ y = k $

Để $ y = k $ cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A và B sao cho $ OA \bot OB $, tức là tích $ OA \cdot OB = -1 $. Đường thẳng cắt đồ thị khi:
$$
k = x - \frac{1}{x+1} \implies k(x + 1) = x^2 + x - 1 \implies x^2 + (1 - k)x - 1 = 0.
$$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là:
$$
(1 - k)^2 + 4 > 0.
$$
Ta cần tính $ k $ thoả mãn phương trình $ k^2 - k - 1 = 0 $:
$$
k = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
$$
Vì vậy, câu d) là **đúng**.

### Tóm lại:
- a) Sai.
- b) Đúng.
- c) Sai.
- d) Đúng.

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

a)

Tập xác định: D = ℝ \ {-1}

lim (x -> -1+) y = lim (x -> -1+) [x - 1/(x+1)] = -∞

=> Tiệm cận đứng: x = -1

a) SAI.

b)

x = 0 => y = 0 - 1/(0+1) = -1 => M(0; -1)

y' = 1 + 1/(x+1)^2

k = y'(0) = 1 + 1/(0+1)^2 = 2

Phương trình tiếp tuyến tại M:

y = 2(x - 0) - 1

$y = 2x - 1$

b) ĐÚNG.

c)

y' = 1 + 1/(x+1)^2 > 1, ∀x ≠ -1

Vì k1 > 1 và k2 > 1 => k1.k2 > 1 ≠ -1

Không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

c) SAI.

d)

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x - \frac{1}{x+1} = k$

$x^2 + x - 1 = k(x+1)$

$x^2 + (1-k)x - (k+1) = 0$ (1)

Δ = $(1-k)^2 + 4(k+1) = k^2 + 2k + 5 > 0$, ∀k

x = -1 => $(-1)^2 + (1-k)(-1) - (k+1) = -1 ≠ 0$

=> (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác -1.

Theo định lý Vi-ét:

$x_1 + x_2 = k - 1$

$x_1x_2 = -(k+1)$

A(x1; k), B(x2; k)

OA ⊥ OB <=> \vec{OA}.\vec{OB} = 0

$x_1x_2 + k^2 = 0$

$-(k+1) + k^2 = 0$

$k^2 - k - 1 = 0$

d) ĐÚNG.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$