« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$ Câu 14. Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật ABCD với $AB=100~m;AD=80~m.$ Người,ta muốn chia công viên thành hai khu, một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết,kế độc đáo và lạ mắt, người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần $H_1$ (không tô màu),dành cho trẻ em và $H_2$ (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên với,$AH=40~m;AE=60~m;AP=20~m$ và $EF//AB;PQ//AD.$,Biết rằng khi xét trong một hệ tọa độ Oxy, đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số bậc,ba. Phần chính giữa công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc đoạn thẳng MN như hình. Biết giá,tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180,nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn MN là bao nhiêu triệu đồng.,

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Câu 14. Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật ABCD với $AB=100~m;AD=80~m.$ Người,ta muốn chia công viên thành hai khu, một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết,kế độc đáo và lạ mắt, người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần $H_1$ (không tô màu),dành cho trẻ em và $H_2$ (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên với,$AH=40~m;AE=60~m;AP=20~m$ và $EF//AB;PQ//AD.$,Biết rằng khi xét trong một hệ tọa độ Oxy, đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số bậc,ba. Phần chính giữa công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc đoạn thẳng MN như hình. Biết giá,tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180,nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn MN là bao nhiêu triệu đồng.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/46c85f2277104f42b4407b93ee5f426e.jpg />

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(0;0), B(100;0), D(0;80).

Hàm số bậc ba có dạng: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Đồ thị đi qua E(0;60) nên $d = 60$.

Đồ thị nhận I(50;60) làm tâm đối xứng và có 2 điểm cực trị đối xứng qua I.

Điểm cực đại có hoành độ $x = 20$, tung độ $y = 80$.

Điểm cực tiểu có hoành độ $x = 2 \cdot 50 - 20 = 80$, tung độ $y = 2 \cdot 60 - 80 = 40$.

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} f'(20) = 0 \ f'(80) = 0 \ f(20) = 80 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3a \cdot 20^2 + 2b \cdot 20 + c = 0 \ 3a \cdot 80^2 + 2b \cdot 80 + c = 0 \ a \cdot 20^3 + b \cdot 20^2 + c \cdot 20 + 60 = 80 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 1200a + 40b + c = 0 \ 19200a + 160b + c = 0 \ 8000a + 400b + 20c = 20 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{1}{1800} \ b = - \frac{1}{12} \ c = 4 \end{cases}$

Phương trình đường cong: $y = \frac{1}{1800}x^3 - \frac{1}{12}x^2 + 4x + 60$

Đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng $x = 50$.

Giao điểm của đường thẳng MN và đường cong có tung độ:

$y_I = f(50) = 60$

Độ dài đoạn MN thuộc khu vực $H_2$ (người lớn):

$L_2 = 60$ m

Độ dài đoạn MN thuộc khu vực $H_1$ (trẻ em):

$L_1 = 80 - 60 = 20$ m

Tổng số tiền mắc dây đèn trên đoạn MN:

$= 20 \cdot 140000 + 60 \cdot 180000$

$= 2800000 + 10800000$

$= 13600000$ đồng

$= 13.6$ triệu đồng.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước hết ta cần xác định chiều dài đoạn MN, sau đó tính tổng chi phí mắc dây đèn trang trí cho cả hai khu vực dành cho trẻ em và người lớn.

### Bước 1: Tính chiều dài đoạn MN

1. **Tọa độ các điểm**:
   - Giả sử điểm A là (0, 0), B là (100, 0), D là (0, 80), và C là (100, 80).
   - Do đó, các điểm còn lại có tọa độ:
     - H(40, 0)
     - E(60, 0)
     - P(0, 20)
     - Q(0, 80)

2. **Tính chiều dài MN**:
   - MN là đoạn thẳng nối giữa điểm M và N. Để tìm tọa độ của M và N, ta cần xem xét các phương trình của đường cong bậc ba, nhưng ta có thể sử dụng hình vẽ để suy luận chiều dài đoạn MN.
   - Nếu nhìn vào hình vẽ, ta có thể thấy rằng MN nằm ngang và có chiều dài bằng chiều dài giữa hai khu vực (bề ngang của công viên).

3. **Chiều dài đoạn MN**:
   - Chiều dài đoạn MN = chiều dài đoạn AB = 100 m.

### Bước 2: Tính chi phí mắc dây đèn trang trí

1. **Chi phí cho trẻ em**:
   - Chi phí mắc dây cho khu trẻ em = 140 nghìn đồng/m.
   - Chiều dài cho trẻ em: chiều dài từ A đến H = 40 m.
   - Tổng chi phí cho trẻ em = 140 * 40 = 5600 nghìn đồng.

2. **Chi phí cho người lớn**:
   - Chi phí mắc dây cho khu người lớn = 180 nghìn đồng/m.
   - Chiều dài cho người lớn: chiều dài từ E đến B = 40 m (từ 60 đến 100).
   - Tổng chi phí cho người lớn = 180 * 40 = 7200 nghìn đồng.

### Bước 3: Tổng chi phí

- Tổng chi phí = Chi phí trẻ em + Chi phí người lớn = 5600 + 7200 = 12800 nghìn đồng.

### Bước 4: Chuyển đổi sang triệu đồng

- Tổng chi phí = 12800 / 1000 = 12.8 triệu đồng.

### Kết luận

Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn MN là **12.8 triệu đồng**.