Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của,$a.~A=x^2+2y^2-2xy-4y+5$ $b.~B=2x^2-2y^2+5y^2+5$,Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của,$a.~A(x)=2x^2+y^2-2xy-2x+3$ $b.~B(x)=x^2+xy+y^2-3x-3y$,$c.~C(x)=2x^2+3y^2+4xy-8x-2y+18$ $d.~D(x)=2x^2+3y^2+4z^2-2(x+y+z)+2e.$,$E(x)=2x^2+8xy+11y^2-4x-2y+6$ $f.~F(x)=2x^2+6y^2+5z^2-6xy+8yz-2xz+2y+4z+2$,$g.~G(x)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-2xz-2yz-2x-4y$ $h.~H(x)=x^2+y^2-xy-x+y+1$,Bài 3: Tìm GTLN của các biểu thức sau,$a.~A=-4x^2-5y^2+8xy+10y+12$ $b.~-x^2-y^2+xy+2x+2y.$,Bài 4: Tìm GTNN của các biểu thức sau,$a.~A=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82$ $b.~B=3x^2+3y^2+z^2+5xy-3yz-3xz-2x-2y+3$,Bài 5: Tìm GTLN của $A=x+y+z-(x^2+2y^2+4z^2)$,Bài 6: Tìm GTNN của $A=x^2+2y^2+2xy+2x-4y+2013$,BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

5.

$$A=x+y+z-\left(x^2+2y^2+4z^2 ight)$$

$$=-x^2+x-2y^2+y-4z^2+z$$

$$=-\left(x^2-x ight)-2\left(y^2-\frac{1}{2}y ight)-4\left(z^2-\frac{1}{4}z ight)$$

$$=-\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} ight)-2\left(y^2-2.y.\frac{1}{4}+\frac{1}{16} ight)-4\left(z^2-2.z.\frac{1}{8}+\frac{1}{64} ight)+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$$

$$=-\left(x-\frac{1}{2} ight)^2-2\left(y-\frac{1}{4} ight)^2-4\left(z-\frac{1}{8} ight)^2+\frac{7}{16}$$

Vì $$\begin{cases}-\left(x-\frac{1}{2} ight)^2\le0 \ -2\left(y-\frac{1}{4} ight)^2\le0 \ -4\left(z-\frac{1}{8} ight)^2\le0\end{cases}$$

Suy ra: $$A\le\frac{7}{16}$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$\begin{cases}x=\frac{1}{2} \ y=\frac{1}{4} \ z=\frac{1}{8}\end{cases}$$

Vậy $$\max A=\frac{7}{16}$$ khi $$x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{8}$$.

6.

$$A=x^2+2y^2+2xy+2x-4y+2013$$

$$=\left(x^2+2xy+y^2 ight)+2\left(x+y ight)+y^2-6y+2013$$

$$=\left(x+y ight)^2+2\left(x+y ight)+1+\left(y^2-6y+9 ight)+2003$$

$$=\left(x+y+1 ight)^2+\left(y-3 ight)^2+2003$$

Vì $$\begin{cases}\left(x+y+1 ight)^2\ge0 \ \left(y-3 ight)^2\ge0\end{cases}$$

Suy ra: $$A\ge2003$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$\begin{cases}y-3=0 \ x+y+1=0\end{cases}$$ hay $$\begin{cases}y=3 \ x=-4\end{cases}$$

Vậy $$\min A=2003$$ khi $$x=-4;y=3.$$

Timi · Answer

Để giải quyết các bài toán trên, chúng ta sẽ lần lượt giải từng bài một.

**Bài 1:**

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ A = x^2 + 2y^2 - 2xy - 4y + 5 $.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ nhóm các hạng tử lại và hoàn thành bình phương:

$$
A = (x^2 - 2xy + 2y^2) - 4y + 5 = (x - y)^2 + y^2 - 4y + 5
$$

Tiếp theo, hoàn thành bình phương hạng tử $ y^2 - 4y $:

$$
y^2 - 4y = (y-2)^2 - 4
$$

Thay vào, ta có:

$$
A = (x - y)^2 + (y - 2)^2 + 1
$$

Giá trị nhỏ nhất của $ A $ xảy ra khi $ (x - y)^2 = 0 $ và $ (y - 2)^2 = 0 $, tức là $ x = y = 2 $.

Thay vào $ A $:

$$
A = 0 + 0 + 1 = 1
$$

**Giá trị nhỏ nhất của A là 1.**

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ B = 2x^2 - 2y^2 + 5y^2 + 5 = 2x^2 + 3y^2 + 5 $.

Biểu thức này là một đa thức bậc hai có dạng chuẩn. Chúng ta nhận thấy rằng $ B $ không có hạng tử liên quan đến $ xy $, do đó không cần hoàn thành bình phương.

Giá trị nhỏ nhất của $ B $ phụ thuộc vào giá trị của $ x $ và $ y $.

Khi $ x = 0 $ và $ y = 0 $:

$$
B = 2(0)^2 + 3(0)^2 + 5 = 5
$$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ B $ là 5.

**Giá trị nhỏ nhất của B là 5.**

**Bài 2:**

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ A(x) = 2x^2 + y^2 - 2xy - 2x + 3 $.

Hoàn thành bình phương với $ y $:

$$
A(x) = 2x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 3 = 2(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{2}y^2 - 2x + 3
$$

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ B(x) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y $.

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ C(x) = 2x^2 + 3y^2 + 4xy - 8x - 2y + 18 $.

d. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ D(x) = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 - 2(x+y+z) + 2e $.

e. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ E(x) = 2x^2 + 8xy + 11y^2 - 4x - 2y + 6 $.

f. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ F(x) = 2x^2 + 6y^2 + 5z^2 - 6xy + 8yz - 2xz + 2y + 4z + 2 $.

g. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ G(x) = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y $.

h. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ H(x) = x^2 + y^2 - xy - x + y + 1 $.

Do bài 2 yêu cầu nhiều biểu thức khác nhau, ta sẽ cần phải tính từng cái một và giá trị nhỏ nhất có thể thay đổi tùy thuộc vào $ x, y, z $.

**Bài 3 và Bài 4** có phương pháp tương tự, ta sẽ cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức đã cho.

**Bài 5:** Tìm GTLN của $ A = x + y + z - (x^2 + 2y^2 + 4z^2) $.

Ta cần kiểm tra điều kiện của x, y, z và tối ưu hóa giá trị $ A $.

**Bài 6:** Tìm GTNN của $ A = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 2013 $.

Ta cũng cần sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương để tìm giá trị nhỏ nhất.

**Tổng kết**: Mỗi bài đều yêu cầu một cách tiếp cận riêng để tìm giá trị tối ưu. Hãy kiểm tra từng trường hợp và tính toán cẩn thận để có kết quả chính xác.