Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = 12x^{2025}(x+1)(3-x), \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. $(-\infty; -1)$. B. $(-1; 3)$...

Để xác định các khoảng đồng biến của hàm số \(y = f(x)\), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \(f'(x)\). Đạo hàm được cho là: \[ f'(x) = 12x^{2025}(x+1)(3-x). \] Trước tiên, ta phân tích từng yếu tố trong biểu thức của \(f'(x)\): 1. \(12\) là một hằng số dương, vì vậy không ảnh hưởng đến dấu của \(f'(x)\). 2. \(x^{2025}\): Đối với \(x < 0\), \(x^{2025}\) âm; đối với \(x = 0\), \(x^{2025} = 0\); đối với \(x > 0\), \(x^{2025}\) dương. 3. \((x + 1)\): Âm khi \(x < -1\), bằng 0 khi \(x = -1\), dương khi \(x > -1\). 4. \((3 - x)\): Dương khi \(x < 3\), bằng 0 khi \(x = 3\), âm khi \(x > 3\). Bây giờ, ta xác định các khoảng mà \(f'(x) > 0\): - Khi \(x < -1\): - \(x^{2025} < 0\) - \(x + 1 < 0\) - \(3 - x > 0\) - Do đó, \(f'(x) < 0\). - Khi \(-1 < x < 3\): - \(x^{2025} > 0\) - \(x + 1 > 0\) - \(3 - x > 0\) - Do đó, \(f'(x) > 0\). - Khi \(x = -1\): - \(f'(-1) = 0\). - Khi \(x = 3\): - \(f'(3) = 0\). - Khi \(x > 3\): - \(x^{2025} > 0\) - \(x + 1 > 0\) - \(3 - x < 0\) - Do đó, \(f'(x) < 0\). Tóm lại, \(f'(x) > 0\) trên khoảng \((-1, 3)\). Vậy hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng: \[ \boxed{(-1; 3)}. \]