« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

$a)$ Đặt $u = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$, $v = \dfrac{\sqrt{y}}{2}$, $w = \dfrac{\sqrt{z}}{2}$ với $u, v, w > 0$ Từ giả thiết $x + y + z + \sqrt{xyz} = 4$ Khi đó $4u^2 + 4v^2 + 4w^2 + 8uvw = 4$ Nên $u^2 + v^2 + w^2 + 2uvw = 1$ Do đó $1 - v^2 - w^2 = u^2 + 2uvw$ Ta có $x(4-y)(4-z) = 4u^2 . 4\left(1 - v^2\right) . 4\left(1 - w^2\right)$ $x(4-y)(4-z) = 64u^2(1 - v^2)(1 - w^2)$ $x(4-y)(4-z) = 64u^2(1 - v^2 - w^2 + v^2w^2)$ $x(4-y)(4-z) = 64u^2(u^2 + 2uvw + v^2w^2)$ $x(4-y)(4-z) = 64u^2(u + vw)^2$ Suy ra $\sqrt{x(4-y)(4-z)} = 8u(u + vw)$ $\sqrt{x(4-y)(4-z)} = 8u^2 + 8uvw$ Tương tự $\sqrt{y(4-z)(4-x)} = 8v(v + wu)$ $\sqrt{y(4-z)(4-x)} = 8v^2 + 8uvw$ $\sqrt{z(4-x)(4-y)} = 8w(w + uv)$ $\sqrt{z(4-x)(4-y)} = 8w^2 + 8uvw$ Mặt khác $\sqrt{xyz} = 2u . 2v . 2w = 8uvw$ Nên $A = 8u^2 + 8uvw + 8v^2 + 8uvw + 8w^2 + 8uvw - 8uvw$ $A = 8u^2 + 8v^2 + 8w^2 + 16uvw$ $A = 8(u^2 + v^2 + w^2 + 2uvw)$ Vậy $A = 8$ $b)$ Từ giả thiết $a + b + c = 1$ Khi đó $a + bc = a(a + b + c) + bc$ $a + bc = a^2 + ab + ac + bc$ $a + bc = a(a + b) + c(a + b)$ $a + bc = (a + b)(a + c)$ Tương tự $b + ca = b(a + b + c) + ca$ $b + ca = ab + b^2 + bc + ca$ $b + ca = b(a + b) + c(b + a)$ $b + ca = (b + c)(b + a)$ Và $c + ab = c(a + b + c) + ab$ $c + ab = ac + bc + c^2 + ab$ $c + ab = c(a + c) + b(c + a)$ $c + ab = (c + a)(c + b)$ Ta có $\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab} = \dfrac{(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)}{(c+a)(c+b)}$ $\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab} = (a+b)^2$ Suy ra $\sqrt{\dfrac{(a+bc)(b+ca)}{c+ab}} = a + b$ Tương tự $\sqrt{\dfrac{(b+ca)(c+ab)}{a+bc}} = b + c$ $\sqrt{\dfrac{(c+ab)(a+bc)}{b+ca}} = c + a$ Khi đó $P = (a + b) + (b + c) + (c + a)$ $P = 2a + 2b + 2c$ Hay $P = 2(a + b + c)$ Vậy $P = 2$