Giúp mình với! Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức :,$a)~A=5x^2+5y^2+8xy+2y-2x+2024$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $A = 5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2y - 2x + 2024$
$A = (4x^2 + 8xy + 4y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + 2022$
$A = 4(x+y)^2 + (x-1)^2 + (y+1)^2 + 2022$
Ta thấy $4(x+y)^2 \ge 0$, $(x-1)^2 \ge 0$, $(y+1)^2 \ge 0$ $\forall x, y$
Do đó $A \ge 2022$
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} x+y = 0 \ x-1 = 0 \ y+1 = 0 \end{cases} \begin{cases} x = 1 \ y = -1 \end{cases}$
Vậy $\min A = 2022$ tại $\begin{cases} x = 1 \ y = -1 \end{cases}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ A = 5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2y - 2x + 2024 $, chúng ta sẽ tiến hành phân tích biểu thức này.

Trước tiên, chúng ta có thể viết lại biểu thức theo dạng một đa thức hai biến $ x $ và $ y $.

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Biểu thức có thể được viết lại như sau:

$$
A = 5(x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy) + 2y - 2x + 2024
$$

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương. Đầu tiên, ta sẽ xử lý phần $ 5(x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy) $.

Đặt $ z = \frac{y}{x} $, ta có:

$$
x^2 + y^2 + \frac{8}{5}xy = x^2(1 + z^2 + \frac{8}{5}z)
$$

Xét hàm $ f(z) = 1 + z^2 + \frac{8}{5}z $. Tính đạo hàm để tìm cực trị:

$$
f&#x27;(z) = 2z + \frac{8}{5}
$$
Đặt $ f&#x27;(z) = 0 $:

$$
2z + \frac{8}{5} = 0 \implies z = -\frac{4}{5}
$$

### Bước 3: Tính giá trị của hàm $ f(z) $

Thay $ z = -\frac{4}{5} $ vào $ f(z) $:

$$
f\left(-\frac{4}{5}\right) = 1 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \frac{8}{5} \left(-\frac{4}{5}\right) 
= 1 + \frac{16}{25} - \frac{32}{25} 
= 1 - \frac{16}{25} 
= \frac{9}{25}
$$

### Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất của $ A $

Thay giá trị của $ f(z) $ vào biểu thức $ A $:

$$
A = 5 \cdot \frac{9}{25} x^2 + 2y - 2x + 2024
= \frac{9}{5} x^2 + 2y - 2x + 2024
$$

Giờ chúng ta cần tối ưu phần $ 2y - 2x $. Xét hàm $ g(y, x) = 2y - 2x $, đạo hàm để tìm cực trị:

$$
g_y = 2, \quad g_x = -2
$$

Điều này cho thấy hàm $ g(y, x) $ không có cực trị nội địa và có thể nhận giá trị cực tiểu khi $ y $ tối thiểu và $ x $ tối đa (hoặc ngược lại).

### Bước 5: Kết hợp lại và tìm giá trị tối thiểu

Để tối ưu hóa $ A $, chúng ta chọn giá trị nhỏ nhất cho các biến $ x $ và $ y $.

Ta sẽ đặt $ x = 0 $ và $ y = 0 $ để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$
A(0,0) = 2024
$$

### Kết luận

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là:

$$
\boxed{2024}
$$