Giải hộ mình câu này với các bạn Bài toán 5. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)=\{x\in\mathbb{Z}:|x^2-2x-3|=x^2+|2x+3|\}.$ Trong đoạn $[-2020;2021]$ có,bao nhiêu giá trị của x để mệnh đề chứa biến $P(x)$ là mệnh đề đúng?

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

$|x^2-2x-3|=x^2+|2x+3|,\quad x\in\mathbb Z\cap[-2020;2021]$. Xét dấu: $x\le -2:\; x^2-2x-3\ge0,\;2x+3<0$ $\Rightarrow x^2-2x-3=x^2-2x-3$ (đúng) $\Rightarrow$ có $2019$ giá trị $x\in[-2020;-2]$. $x=-1:\;0 e2$ (loại). $-10$ $\Rightarrow -x^2+2x+3=x^2+2x+3\Rightarrow x=0$ $\Rightarrow$ có $1$ giá trị $x=0$. $x\ge3:\;x^2-2x-3\ge0,\;2x+3>0$ $\Rightarrow x^2-2x-3=x^2+2x+3\Rightarrow x=-\frac32 (loại).$ Vậy có $2019+1=2020$ giá trị. $\boxed{2020}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần phân tích mệnh đề chứa biến $ P(x) $: $$ |x^2 - 2x - 3| = x^2 + |2x + 3| $$ Ta sẽ phân tích hai bên của phương trình. 1. **Phân tích biểu thức bên trái:** $$ |x^2 - 2x - 3| = |(x - 3)(x + 1)| $$ Mệnh đề này sẽ khác nhau tùy theo các khoảng giá trị của $ x $. Ta tìm nghiệm của phương trình $ x^2 - 2x - 3 = 0 $: $$ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1 $$ Vậy ta có 3 khoảng: - $ (-\infty, -1) $ - $ [-1, 3] $ - $ (3, +\infty) $ - **Khi $ x < -1 $:** $ |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3 $ - **Khi $ -1 \leq x \leq 3 $:** $ |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 $ - **Khi $ x > 3 $:** $ |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 $ 2. **Phân tích biểu thức bên phải:** $$ |2x + 3| $$ Mệnh đề này cũng có hai trường hợp: - Khi $ 2x + 3 \geq 0 $ (tức là $ x \geq -\frac{3}{2} $): $ |2x + 3| = 2x + 3 $ - Khi $ 2x + 3 < 0 $ (tức là $ x < -\frac{3}{2} $): $ |2x + 3| = -(2x + 3) = -2x - 3 $ 3. **Giải phương trình theo từng trường hợp:** - **Trường hợp 1:** $ x < -1 $ (tức là $ x < -\frac{3}{2} $): $$ -x^2 + 2x + 3 = x^2 - 2x - 3 $$ $$ 0 = 2x^2 - 4x - 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -1 $$ Chỉ có $ x = -1 $ thỏa mãn $ x < -1 $. - **Trường hợp 2:** $ -1 \leq x \leq 3 $: $$ x^2 - 2x - 3 = x^2 + 2x + 3 $$ $$ -2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} $$ Chỉ $ x = -\frac{3}{2} $ nằm trong khoảng. - **Trường hợp 3:** $ x > 3 $: $$ x^2 - 2x - 3 = x^2 + 2x + 3 $$ $$ -2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} $$ Không có nghiệm nào thỏa mãn $ x > 3 $. 4. **Tóm tắt nghiệm và đếm số nghiệm trong đoạn $ [-2020, 2021] $**: Các nghiệm của mệnh đề là $ x = -1 $ và $ x = -\frac{3}{2} $. Cả hai đều nằm trong đoạn $ [-2020; 2021] $. Như vậy, trong đoạn $ [-2020; 2021] $ có tổng cộng 2 giá trị của $ x $ để mệnh đề chứa biến $ P(x) $ là mệnh đề đúng. **Đáp án: 2**.

Huycindy · Answer

$\vert{}x^2 - 2x - 3\vert{} = x^2 + \vert{}2x + 3\vert{}$
$\vert{}x^2 - (2x + 3)\vert{} = \vert{}x^2\vert{} + \vert{}2x + 3\vert{}$
$x^2(2x + 3) \leq 0$
Do $x^2 \geq 0$ $\forall x$
$\left[ \begin{aligned} & x^2 = 0 \ & 2x + 3 \leq 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} & x = 0 \ & x \leq -\dfrac{3}{2} \end{aligned} ight.$
Do $x \in \mathbb{Z}$ và $x \in [-2020; 2021]$
$\left[ \begin{aligned} & x = 0 	ext{ (n)} \ & x \in \{-2020; -2019; \dots; -2\} 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
Số giá trị $x$ thỏa mãn là:
$(-2 - (-2020)) + 1 + 1 = 2020$ (giá trị)

vudung2013 · Answer

Minhdang39Có 2020 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.Phương pháp giải chi tiếtĐể mệnh đề $P(x)$ đúng với $x \in \mathbb{Z}$, ta cần giải phương trình:$|x^{2}-2x-3|=x^{2}+|2x+3|$Bước 1: Biến đổi phương trình bằng tính chất trị tuyệt đốiĐặt $a = x^2$ và $b = 2x + 3$. Khi đó, ta có $x^2 - 2x - 3 = a - b$.Phương trình trở thành:$|a-b|=a+|b|$Vì $a = x^2 \geq 0 \implies a = \vert{}a\vert{}$, nên phương trình tương đương với:$|a-b|=|a|+|b|$Theo bất đẳng thức trị tuyệt đối, $\vert{}a - b\vert{} \leq \vert{}a\vert{} + \vert{}-b\vert{} = \vert{}a\vert{} + \vert{}b\vert{}$. Do đó, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a$ và $-b$ cùng dấu, tức là:$a\cdot (-b)\ge 0\iff a\cdot b\le 0$Bước 2: Tìm tập nghiệm nguyên $x$Thay lại $a = x^2$ và $b = 2x + 3$, ta được:$x^{2}(2x+3)\le 0$Xét các trường hợp xảy ra:Trường hợp 1: $x^2 = 0 \iff x = 0$ (thỏa mãn).Trường hợp 2: $2x + 3 \leq 0 \iff x \leq -\frac{3}{2} = -1,5$.Vì $x$ là số nguyên ($x \in \mathbb{Z}$), nên các giá trị $x$ thỏa mãn là:$x=0\quad \text{hoc}\quad x\in \{\dots ;-4;-3;-2\}$Bước 3: Đếm số giá trị trong đoạn $[-2020; 2021]$Ta đếm số lượng số nguyên thuộc hai nhóm trên trong đoạn đề bài cho:Các số nguyên âm thỏa mãn $x \leq -2$ thuộc đoạn $[-2020; -2]$ gồm:$(-2)-(-2020)+1=2019\text{\ giá\ tr}$Giá trị $x = 0$:$1\text{\ giá\ tr}$Tổng số giá trị của $x$ là:$2019+1=2020\text{\ giá\ tr}$