« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ Giải các hệ phương sau bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình $2$ ẩn

Để giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2 \quad (1) \\ \frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3 \quad (2) \end{array} \right. \] Ta đặt: \[ u = \frac{1}{x} \quad \text{và} \quad v = \frac{1}{y} \] Khi đó, ta có thể viết lại các phương trình như sau: 1. Từ phương trình (1): \[ 3u - 4v = 2 \] 2. Từ phương trình (2): \[ 4u - 5v = 3 \] Vậy, hệ phương trình mới trở thành: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3u - 4v = 2 \quad (3) \\ 4u - 5v = 3 \quad (4) \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình (3) và (4): Từ phương trình (3), ta có: \[ 3u = 4v + 2 \quad \Rightarrow \quad u = \frac{4v + 2}{3} \quad (5) \] Thay (5) vào phương trình (4): \[ 4\left(\frac{4v + 2}{3}\right) - 5v = 3 \] Nhân cả hai vế với 3 để bỏ mẫu: \[ 4(4v + 2) - 15v = 9 \] \[ 16v + 8 - 15v = 9 \] \[ v + 8 = 9 \] \[ v = 1 \] Thay giá trị của \( v \) vào (5): \[ u = \frac{4(1) + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] Ta có được \( u = 2 \) và \( v = 1 \): \[ u = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{u} = \frac{1}{2} \quad (6) \] \[ v = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{v} = 1 \quad (7) \] Vậy, nghiệm của hệ phương trình ban đầu là: \[ x = \frac{1}{2}, \quad y = 1 \] Tóm lại, nghiệm của hệ phương trình là: \[ \boxed{\left(\frac{1}{2}, 1\right)} \]