Tìm GTNN của biểu thức $5)~B=x^2+x+1;$

Question

lehuong · Accepted Answer

Ta có:

$B = x^2 + x + 1$

$B = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

$B = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Vì $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$ với mọi $x$

Nên $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$ với mọi $x$

Hay $B \ge \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$x + \frac{1}{2} = 0$

$x = -\frac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $B$ là $\frac{3}{4}$ khi $x = -\frac{1}{2}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ B = x^2 + x + 1 $, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc công thức hoàn thành bình phương.

1. **Sử dụng công thức hoàn thành bình phương:**

Biểu thức $ B $ có thể được viết lại như sau:

$$
   B = x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1
   $$

Tính toán:

$$
   B = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}
   $$

Trong đó, $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ luôn không âm (tức là $\geq 0$). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này xảy ra khi $x + \frac{1}{2} = 0$ hay $x = -\frac{1}{2}$.

Khi đó, giá trị của $B$ là:

$$
   B_{\text{min}} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
   $$

2. **Kết luận:**

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ B = x^2 + x + 1 $ là:

$$
   \boxed{\frac{3}{4}}
   $$

Huycindy · Answer

Ta có:
$B = x^2 + x + 1$
$B = x^2 + 2 . x . \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 1$
$B = \left(x^2 + 2 . x . \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{1}{4} + 1$
$B = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}$
Vì $\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ $\forall x$
$B = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}$ $\forall x$
Dấu "=" xảy ra khi:
$x + \dfrac{1}{2} = 0$
$x = -\dfrac{1}{2}$
Vậy $minB$ là $\dfrac{3}{4}$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$.