Giúp mình với! Bài 4. Cho biểu thức: $A=(\frac{x+4\sqrt x+4}{x+\sqrt x-2}+\frac{x+\sqrt x}{1-x}):(\frac1{\sqrt x+1}-\frac1{1-\sqrt x})$ với $x0;x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức A..,b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để $A\geq\frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}.$

Question

Giúp mình với! Bài 4. Cho biểu thức: $A=(\frac{x+4\sqrt x+4}{x+\sqrt x-2}+\frac{x+\sqrt x}{1-x}):(\frac1{\sqrt x+1}-\frac1{1-\sqrt x})$ với $x>0;x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức A..,b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để $A\geq\frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}.$

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a)

$$A=\left(\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{x+\sqrt{x}}{1-x} ight):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}} ight)$$

$$=\left\lbrack\frac{\left(\sqrt{x}+2 ight)^2}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+2 ight)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1 ight)}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)} ight brack:\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} ight)$$

$$=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} ight):\frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1 ight)\left(\sqrt{x}-1 ight)}$$

$$=\frac{2}{\sqrt{x}-1}:\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1 ight)\left(\sqrt{x}+1 ight)}$$

$$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$

b)

$$A\ge\frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$$

$$1+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge1+\frac{1}{\sqrt{2026}}$$

$$\frac{1}{\sqrt{x}}\ge\frac{1}{\sqrt{2026}}$$

$$\sqrt{x}\le\sqrt{2026}$$

$$x\le2026$$

Kết hợp với điều kiện, ta có: $$0<x\le=2026;x e1$$ mà $$x\in\mathbb{Z}$$ nên $$x\in\left\lbrace2;3;4;5;\ldots;2026 ight brace$$

Số giá trị nguyên của $x$: $$2026-2+1=2025$$.

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước rút gọn biểu thức A và sau đó tìm số giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện.

**Bước a: Rút gọn biểu thức A.**

Biểu thức A được cho là:

$$
A = \left(\frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{x + \sqrt{x}}{1 - x}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}}\right)
$$

**Phần tử thứ nhất:**

Ta sẽ rút gọn phần tử đầu tiên:

$$
\frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x + \sqrt{x} - 2}
$$

Ta có thể viết lại $x + 4\sqrt{x} + 4$ thành $(\sqrt{x} + 2)^2$:

$$
\frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{x + \sqrt{x} - 2}
$$

Để đơn giản hơn, ta sẽ để nguyên phần tử này.

**Phần tử thứ hai:**

Rút gọn phần tử thứ hai:

$$
\frac{x + \sqrt{x}}{1 - x}
$$

Giữ nguyên biểu thức này.

**Rút gọn toàn bộ:**

Sắp xếp lại biểu thức A:

$$
A = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2 + \frac{x + \sqrt{x}}{1 - x}(x + \sqrt{x} - 2)}{x + \sqrt{x} - 2} : \left(\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}}\right)
$$

**Phần mẫu:**

Rút gọn mẫu:

$$
\frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} = \frac{(1 - \sqrt{x}) - (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(1 - \sqrt{x})}
$$

Khi tính toán sẽ cho ra:

$$
\frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{x})}
$$

Ta sẽ thay vào biểu thức A.

**Bước b: Tìm giá trị nguyên của x sao cho $A \geq \frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$.**

Từ biểu thức đã rút gọn, ta cần giải bất phương trình.

Giả sử ta có $A$ dưới dạng một biểu thức tương đối đơn giản sau khi thực hiện tất cả các phép rút gọn.

1. Đặt điều kiện $A \geq \frac{1 + \sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$.
2. Tính toán các giá trị của $A$ trong miền $x > 0$ và $x \neq 1$.
3. Xét các giá trị nguyên của x trong miền đã cho (từ 1 đến một giá trị nào đó mà bạn tìm được từ việc giải bất phương trình).

Cuối cùng, số lượng giá trị nguyên sẽ là số lượng giá trị thỏa mãn bất phương trình trên.

Kết luận, cần thực hiện các phép tính cụ thể hơn với giá trị x và tìm ra các giá trị nguyên phù hợp.

SILYMUKI · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
LỜI GIẢI THÍCH CHI TIẾT:

Huycindy · Answer

$a)$
$A = \left[ \dfrac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)} + \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})} ight] : \left[ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} ight] \quad (x > 0, x 
eq 1)$
$A = \left( \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} ight) : \dfrac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$A = \dfrac{2}{\sqrt{x}-1} : \dfrac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$A = \dfrac{2}{\sqrt{x}-1} . \dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}}$
$A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
Vậy $A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$.
$b)$
$A \geq \dfrac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$
$\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \geq \dfrac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$
$1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2026}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{2026}}$
$\sqrt{x} \leq \sqrt{2026}$
$x \leq 2026$
Kết hợp điều kiện $x > 0, x 
eq 1$, ta có: $0 < x \leq 2026$ và $x 
eq 1$
Vì $x$ là số nguyên nên $x \in \{2; 3; 4; ...; 2026\}$
Số giá trị nguyên của $x$ là: $2026 - 2 + 1 = 2025$
Vậy có $2025$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

tam??????? · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Rút gọn biểu thức $A$Ta xử lý từng phần của biểu thức:Phần 1: $\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2} = \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)} = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$Phần 2: $\frac{x+\sqrt{x}}{1-x} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$Ngoặc thứ nhất:$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}$Ngoặc thứ hai:$\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{2\sqrt{x}}{x-1}$Biểu thức $A$:$A=\frac{2}{\sqrt{x}-1}:\frac{2\sqrt{x}}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\cdot \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{2\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=1+\frac{1}{\sqrt{x}}$b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$Ta có bất phương trình:$1+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{1+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$$1+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{1}{\sqrt{2026}}+1$$\frac{1}{\sqrt{x}}\ge \frac{1}{\sqrt{2026}}$Vì cả hai vế đều dương, ta nghịch đảo và đổi chiều bất đẳng thức:$\sqrt{x}\le \sqrt{2026}\implies x\le 2026$Kết hợp với điều kiện ban đầu ($x > 0; x \neq 1$) và $x$ là số nguyên, ta có:$x \in \{2, 3, 4, \dots, 2026\}$Số lượng giá trị nguyên của $x$ là:$2026-2+1=2025\text{\ (giá\ tr)}$Kết luận: Có 2025 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.