Đề bài: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 3y$.

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

$\begin{aligned}
x^2+2y^2&=2xy+2x+3y\
\Leftrightarrow x^2-2(y+1)x+2y^2-3y&=0
\end{aligned}$

Coi là phương trình bậc hai theo $x$:

$\Delta&#x27;=(y+1)^2-(2y^2-3y)=-y^2+5y+1$

Để $x\in\mathbb Z$, đặt $\Delta&#x27;=z^2$ $(z\in\mathbb Z,\ z\ge0)$:

$-y^2+5y+1=z^2
\Leftrightarrow (2y-5)^2+(2z)^2=29$

Do $29=25+4=5^2+2^2$ và $(2z)^2$ là số chính phương chẵn nên:

$(2z)^2=4 \Rightarrow z=1$

Suy ra:

$(2y-5)^2=25 \Rightarrow 2y-5=\pm5 \Rightarrow y\in\{0;5\}$

· Với $y=0$:
  $x=y+1\pm z=1\pm1 \Rightarrow x\in\{0;2\}$
· Với $y=5$:
  $x=y+1\pm z=6\pm1 \Rightarrow x\in\{5;7\}$

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là:

$\boxed{(x;y)=\{(0;0),(2;0),(5;5),(7;5)\}}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 3y$, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách sắp xếp lại các hạng tử:

$$
x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x - 3y = 0.
$$

Chúng ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:

$$
x^2 - 2xy - 2x + 2y^2 - 3y = 0.
$$

Phương trình này có thể coi như là một phương trình bậc hai đối với $x$:

$$
x^2 - (2y + 2)x + (2y^2 - 3y) = 0.
$$

Để phương trình bậc hai này có nghiệm nguyên, chúng ta sẽ tính biệt thức $D$:

$$
D = (2y + 2)^2 - 4(2y^2 - 3y).
$$

Tính $D$:

$$
D = (2y + 2)^2 - 4(2y^2 - 3y) = 4y^2 + 8y + 4 - (8y^2 - 12y) = 4y^2 + 8y + 4 - 8y^2 + 12y = -4y^2 + 20y + 4.
$$

Để phương trình có nghiệm, $D$ phải là một số không âm:

$$
-4y^2 + 20y + 4 \geq 0.
$$

Chúng ta sẽ giải bất phương trình này. Đặt $D&#x27; = -4y^2 + 20y + 4$, chúng ta sẽ tính nghiệm của phương trình bậc hai:

$$
-4y^2 + 20y + 4 = 0.
$$

Áp dụng công thức nghiệm:

$$
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-4)(4)}}{2(-4)} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 64}}{-8} = \frac{-20 \pm \sqrt{464}}{-8}.
$$

Tính $\sqrt{464} = \sqrt{16 \cdot 29} = 4\sqrt{29}$:

$$
y = \frac{-20 \pm 4\sqrt{29}}{-8} = \frac{20 \mp 4\sqrt{29}}{8} = \frac{5 \mp \sqrt{29}}{2}.
$$

Bất phương trình này sẽ có nghiệm khi:

$$
-4y^2 + 20y + 4 \geq 0 \text{ có nghĩa là } y \in \left[\frac{5 - \sqrt{29}}{2}, \frac{5 + \sqrt{29}}{2}\right].
$$

Giá trị gần nhất của $\sqrt{29}$ là khoảng $5.385$:

$$
\frac{5 - 5.385}{2} \approx -0.1925, \quad \frac{5 + 5.385}{2} \approx 5.1925.
$$

Vậy $y$ sẽ nằm trong khoảng $[-0.1925, 5.1925]$, do đó $y$ có thể là các số nguyên: $y = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.

Giờ ta sẽ thay từng giá trị của $y$ vào phương trình bậc hai để tìm giá trị $x$.

1. **Khi $y = 0$**:

$$
x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, 2.
$$

2. **Khi $y = 1$**:

$$
x^2 - 4x - 1 = 0 \Rightarrow D = 16 + 4 = 20 \text{ (không phải là số chính phương)}.
$$

3. **Khi $y = 2$**:

$$
x^2 - 6x + 2 = 0 \Rightarrow D = 36 - 8 = 28 \text{ (không phải là số chính phương)}.
$$

4. **Khi $y = 3$**:

$$
x^2 - 8x + 3 = 0 \Rightarrow D = 64 - 12 = 52 \text{ (không phải là số chính phương)}.
$$

5. **Khi $y = 4$**:

$$
x^2 - 10x + 14 = 0 \Rightarrow D = 100 - 56 = 44 \text{ (không phải là số chính phương)}.
$$

6. **Khi $y = 5$**:

$$
x^2 - 12x + 26 = 0 \Rightarrow D = 144 - 104 = 40 \text{ (không phải là số chính phương)}.
$$

Tổng hợp lại, nghiệm nguyên của phương trình $x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 3y$ là:

$$
(x, y) = (0, 0), (2, 0).
$$

Vậy đáp án cuối cùng là:

$$
\boxed{(0, 0), (2, 0)}.
$$

Leroi22 · Answer

Huycindy · Answer

$x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 3y$
$x^2 - 2x(y + 1) + 2y^2 - 3y = 0$
$x^2 - 2x(y + 1) + (y + 1)^2 + 2y^2 - 3y - (y + 1)^2 = 0$
$(x - y - 1)^2 + 2y^2 - 3y - (y^2 + 2y + 1) = 0$
$(x - y - 1)^2 + y^2 - 5y - 1 = 0$
$(x - y - 1)^2 = -y^2 + 5y + 1$
Vì $(x - y - 1)^2 \geq 0$ $\forall x, y$
Nên $-y^2 + 5y + 1 \geq 0$
$-0,19 \leq y \leq 5,19$
Vì $y$ là số nguyên nên $y \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$
Trường hợp $1$: $y = 0$
$(x - 0 - 1)^2 = -0^2 + 5 . 0 + 1$
$(x - 1)^2 = 1$
$\left[ \begin{aligned} x - 1 = 1 \ x - 1 = -1 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x = 2 \ x = 0 \end{aligned} ight.$
Trường hợp $2$: $y = 1$
$(x - 1 - 1)^2 = -1^2 + 5 . 1 + 1$
$(x - 2)^2 = 5$ (l)
Trường hợp $3$: $y = 2$
$(x - 2 - 1)^2 = -2^2 + 5 . 2 + 1$
$(x - 3)^2 = 7$ (l)
Trường hợp $4$: $y = 3$
$(x - 3 - 1)^2 = -3^2 + 5 . 3 + 1$
$(x - 4)^2 = 7$ (l)
Trường hợp $5$: $y = 4$
$(x - 4 - 1)^2 = -4^2 + 5 . 4 + 1$
$(x - 5)^2 = 5$ (l)
Trường hợp $6$: $y = 5$
$(x - 5 - 1)^2 = -5^2 + 5 . 5 + 1$
$(x - 6)^2 = 1$
$\left[ \begin{aligned} x - 6 = 1 \ x - 6 = -1 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x = 7 \ x = 5 \end{aligned} ight.$
Vậy $(x; y) \in \{(0; 0); (2; 0); (5; 5); (7; 5)\}$

Jull · Answer

{"userId":5424405,"userName":"nguyenxuanphu123456789"}

Phương trình đã cho tương đương với:

$x^{2}-2(y+1)x+2y^{2}-3y=0\quad (*)$

Coi $(*)$ là phương trình bậc hai đối với ẩn $x$. Để phương trình có nghiệm thì:

$\Delta ^{\prime }=(y+1)^{2}-(2y^{2}-3y)\ge 0$

$\Leftrightarrow -y^{2}+5y+1\ge 0$

$\Leftrightarrow y^{2}-5y-1\le 0$

Vì $y$ là số nguyên nên ta tìm được các giá trị $y$ thỏa mãn là:

$y \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Để $x$ là số nguyên thì $\Delta' = -y^2 + 5y + 1$ phải là số chính phương.

Với $y = 0 \Rightarrow \Delta' = 1$ (thỏa mãn) $\Rightarrow x = 1 \pm 1 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = 0$.

Với $y = 1 \Rightarrow \Delta' = 5$ (loại).

Với $y = 2 \Rightarrow \Delta' = 7$ (loại).

Với $y = 3 \Rightarrow \Delta' = 7$ (loại).

Với $y = 4 \Rightarrow \Delta' = 5$ (loại).

Với $y = 5 \Rightarrow \Delta' = 1$ (thỏa mãn) $\Rightarrow x = 6 \pm 1 \Rightarrow x = 7$ hoặc $x = 5$.

Vậy các cặp nghiệm nguyên $(x; y)$ của phương trình là:$(0;0),(2;0),(5;5),(7;5)$

tam??????? · Answer

{"userId":5424405,"userName":"nguyenxuanphu123456789"}

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2 + 2y^2 = 2xy + 2x + 3y$, chúng ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai theo biến $x$.1. Biến đổi phương trìnhChuyển tất cả các hạng tử sang một vế:$x^{2}-2(y+1)x+(2y^{2}-3y)=0$2. Điều kiện để phương trình có nghiệmĐể phương trình bậc hai theo $x$ có nghiệm, biệt thức $\Delta ^{\prime }$ phải không âm:$\Delta ^{\prime }=(y+1)^{2}-(2y^{2}-3y)$$\Delta ^{\prime }=y^{2}+2y+1-2y^{2}+3y$$\Delta ^{\prime }=-y^{2}+5y+1$Vì $x$ là số nguyên, nên $\Delta ^{\prime }$ phải là một số chính phương ($k^{2}$). Đồng thời, để có nghiệm thực thì $\Delta' \ge 0$:$-y^{2}+5y+1\ge 0$Giải bất phương trình này:$y^2 - 5y - 1 \le 0$Nghiệm của tam thức là $y = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$. Vì $\sqrt{29} \approx 5.38$, ta có:$-0.19\le y\le 5.19$Vì $y$ là số nguyên, nên $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.3. Kiểm tra các giá trị của $y$Ta lập bảng để tìm giá trị $y$ sao cho $\Delta ^{\prime }$ là số chính phương:$y$$\Delta' = -y^2 + 5y + 1$Là số chính phương?$x = (y + 1) \pm \sqrt{\Delta'}$$0$$1$Có ($1^{2}$)$x = 1 \pm 1 \Rightarrow x = 2; x = 0$$1$$5$Không$2$$7$Không$3$$7$Không$4$$5$Không$5$$1$Có ($1^{2}$)$x = 6 \pm 1 \Rightarrow x = 7; x = 5$4. Kết luậnCác cặp nghiệm nguyên $(x, y)$ của phương trình là:$(0,0);(2,0);(5,5);(7,5)$