Cho số nguyên n. chứng minh rằng phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ tối giản

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

Gọi $d = ext{ƯCLN}(12n + 1, 30n + 2)$ ($d \in \mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow \begin{cases} 12n + 1 \ \vdots \ d \ 30n + 2 \ \vdots \ d \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 5(12n + 1) \ \vdots \ d \ 2(30n + 2) \ \vdots \ d \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} 60n + 5 \ \vdots \ d \ 60n + 4 \ \vdots \ d \end{cases}$

$\Rightarrow (60n + 5) - (60n + 4) \ \vdots \ d$

$\Rightarrow 1 \ \vdots \ d$

$\Rightarrow d = 1$

Vậy phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ tối giản với mọi số nguyên n.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$ là tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số $12n + 1$ và mẫu số $30n + 2$ là 1.

Ta sẽ sử dụng định lý Euclid để tìm ƯCLN.

Gọi:
- $a = 12n + 1$
- $b = 30n + 2$

Ta sẽ tính ƯCLN bằng cách sử dụng thuật toán Euclid:

$$
\text{ƯCLN}(a, b) = \text{ƯCLN}(b, a \mod b)
$$

Trước tiên, ta cần tính $a \mod b$:

$$
a = 12n + 1
$$
$$
b = 30n + 2
$$

Ta sẽ tìm $a - k \cdot b$ với $k$ là một số nguyên sao cho $a - k \cdot b$ nhỏ hơn $b$.

Chọn $k = 0$:

$$
a - 0 \cdot b = a = 12n + 1
$$

Chọn $k = 1$:

$$
a - 1 \cdot b = (12n + 1) - (30n + 2) = -18n - 1
$$

Chọn $k = 1$ sẽ cho kết quả âm, vì vậy chúng ta cần chọn $k = 0$ và thực hiện tiếp bước:

$$
\text{ƯCLN}(12n + 1, 30n + 2) = \text{ƯCLN}(30n + 2, 12n + 1)
$$

Tiếp tục, ta sẽ thực hiện quy trình này cho đến khi đạt được 0. Tuy nhiên, ta cũng có thể tìm ƯCLN trực tiếp bằng cách sử dụng tính chất ước số:

Ta kiểm tra xem $12n + 1$ và $30n + 2$ có ước chung nào không. Để làm điều này, ta cần xem xét:

- Nếu $d$ là ước số chung của $12n + 1$ và $30n + 2$, thì $d$ cũng phải chia $30n + 2 - 2 \cdot (12n + 1)$:
$$
30n + 2 - 2(12n + 1) = 30n + 2 - 24n - 2 = 6n
$$

Do đó, $d$ cũng phải chia $6n$.

Tiếp tục từ $6n$, ta tính:
$$
6n - 6 = 6(n - 1)
$$

Tiếp tục áp dụng quy trình cho $12n + 1$ và $6(n - 1)$:

Ta thấy rằng 1 không thể là ước số chung của $12n + 1$ và $6(n - 1)$, vì $12n + 1$ là số lẻ (bất kể $n$ là số nguyên nào).

Vì vậy, ƯCLN của $12n + 1$ và $30n + 2$ là 1, tức là $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản.

**Kết luận:** Phân số $\frac{12n + 1}{30n + 2}$ là tối giản với mọi số nguyên $n$.

Huycindy · Answer

Gọi $d = 	ext{UCLN}(12n + 1, 30n + 2)$ với $\left(d \in \mathbb{N}^*ight)$.
Theo định nghĩa về ước chung lớn nhất ta có
$\begin{cases} 12n + 1 \;\vdots\; d \ 30n + 2 \;\vdots\; d \end{cases}$
Suy ra $\begin{cases} 5\left(12n + 1ight) \;\vdots\; d \ 2\left(30n + 2ight) \;\vdots\; d \end{cases}$
$\begin{cases} 60n + 5 \;\vdots\; d \ 60n + 4 \;\vdots\; d \end{cases}$
Do đó $\left(60n + 5ight) - \left(60n + 4ight) \;\vdots\; d$
$1 \;\vdots\; d$
Vì $d \in \mathbb{N}^*$ nên ta có $d = 1$
Vậy phân số đã cho tối giản.