tìm số tự nhiên n để $\frac{n+15}{n+3}$ là số tự nhiên

Question

longnguyen · Accepted Answer

Vì 1 là số tự nhiên mà để biểu thức là số tự nhiên nên 12/ (n + 3) là số nguyên ≥ -1

Nên n + 3 thuộc Ư(12) = {-12; 1; 2; 3; 4; 6; 12}

Suy ra: n thuộc {-15; -2; -1; 0; 1; 3; 9}

Timi · Answer

Để tìm số tự nhiên $ n $ sao cho $ \frac{n+15}{n+3} $ là số tự nhiên, ta cần có điều kiện là $ n + 15 $ phải chia hết cho $ n + 3 $.

Ta bắt đầu bằng cách biểu diễn điều kiện này như sau:

$$
\frac{n+15}{n+3} = k \quad \text{với} \, k \, \text{là số tự nhiên}
$$

Điều này dẫn đến:

$$
n + 15 = k(n + 3)
$$

Giải phương trình này, ta có:

$$
n + 15 = kn + 3k
$$

Sắp xếp lại, ta được:

$$
n - kn = 3k - 15
$$

$$
n(1 - k) = 3k - 15
$$

Từ đó, ta có:

$$
n = \frac{3k - 15}{1 - k} \quad \text{với} \, k \neq 1
$$

Để $ n $ là số tự nhiên, $ 3k - 15 $ phải chia hết cho $ 1 - k $.

Xét $ 1 - k $:
- Nếu $ k = 1 $, thì $ n $ sẽ không xác định, vì mẫu số sẽ bằng 0. Ta sẽ xem xét các giá trị khác của $ k $.

Tìm các giá trị $ k $:

- Để $ 3k - 15 $ dương (để n dương), ta có:

$$
3k - 15 > 0 \Rightarrow k > 5
$$

- Giả sử $ k = 6 $:

$$
n = \frac{3 \cdot 6 - 15}{1 - 6} = \frac{18 - 15}{-5} = \frac{3}{-5} \quad \text{không hợp lệ}
$$

- Giả sử $ k = 7 $:

$$
n = \frac{3 \cdot 7 - 15}{1 - 7} = \frac{21 - 15}{-6} = \frac{6}{-6} = -1 \quad \text{không hợp lệ}
$$

- Giả sử $ k = 8 $:

$$
n = \frac{3 \cdot 8 - 15}{1 - 8} = \frac{24 - 15}{-7} = \frac{9}{-7} \quad \text{không hợp lệ}
$$

Tiếp tục kiểm tra cho đến khi tìm được giá trị phù hợp hoặc nhận thấy mẫu số dẫn đến số âm. Có thể thay đổi giá trị của $ k $ để tìm ra các giá trị hợp lệ.

Thay vì tiếp tục kiểm tra thủ công, ta sẽ có thể phát hiện rằng ta nên kiểm tra các giá trị nhỏ hơn cho $ n $:

Xét điều kiện chia hết:

- $ n + 15 \equiv 0 \mod (n + 3) $

Hay là $ n + 15 - (n + 3) \equiv 0 \Rightarrow 12 \equiv 0 \mod (n + 3) $

Điều này có nghĩa là $ n + 3 $ phải là một ước của 12. Các ước số của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Giải cho $ n $:

1. Nếu $ n + 3 = 1 \Rightarrow n = -2 $ (không hợp lệ)
2. Nếu $ n + 3 = 2 \Rightarrow n = -1 $ (không hợp lệ)
3. Nếu $ n + 3 = 3 \Rightarrow n = 0 $ (hợp lệ)
4. Nếu $ n + 3 = 4 \Rightarrow n = 1 $ (hợp lệ)
5. Nếu $ n + 3 = 6 \Rightarrow n = 3 $ (hợp lệ)
6. Nếu $ n + 3 = 12 \Rightarrow n = 9 $ (hợp lệ)

Vậy, các số tự nhiên $ n $ mà $ \frac{n+15}{n+3} $ là số tự nhiên bao gồm $ n = 0, 1, 3, 9 $.

**Kết quả**: Các số tự nhiên $ n $ thỏa mãn là $ n = 0, 1, 3, 9 $.

Anh Trí · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

Để $\frac{n + 15}{n + 3}$ là số tự nhiên, ta có:

$\frac{n + 15}{n + 3} = \frac{n + 3 + 12}{n + 3} = 1 + \frac{12}{n + 3}$

Suy ra $(n + 3)$ là ước tự nhiên của $12$.

Do $n$ là số tự nhiên nên $n + 3 \ge 3$.

$\Rightarrow n + 3 \in \{3; 4; 6; 12\}$

$\Rightarrow n \in \{0; 1; 3; 9\}$

Vậy $n \in \{0; 1; 3; 9\}$.

Huycindy · Answer

Ta có
$\dfrac{n + 15}{n + 3} = \dfrac{n + 3 + 12}{n + 3} = 1 + \dfrac{12}{n + 3}$
Để biểu thức là số tự nhiên thì $\dfrac{12}{n + 3}$ phải là số tự nhiên
Suy ra $n + 3$ là ước của $12$
Do $n \in \mathbb{N}$ nên $n + 3 \geq 3$
Ta có các trường hợp
$\left[ \begin{aligned} &n + 3 = 3 \ &n + 3 = 4 \ &n + 3 = 6 \ &n + 3 = 12 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &n = 0 \ &n = 1 \ &n = 3 \ &n = 9 \end{aligned} ight.$
Vậy $n \in \left\{ 0; 1; 3; 9 ight\}$