Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau là số chính phương: $n^2-n+2$

Để tìm số nguyên dương \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 - n + 2 \) là số chính phương, ta cần kiểm tra điều kiện: \[ n^2 - n + 2 = k^2 \] với \( k \) là một số nguyên. Ta chuyển phương trình này về dạng: \[ n^2 - n + (2 - k^2) = 0 \] Phương trình bậc hai này có nghiệm nếu và chỉ nếu biệt thức của nó không âm: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - k^2) = 1 - 8 + 4k^2 = 4k^2 - 7 \] Ta yêu cầu \( \Delta \geq 0 \): \[ 4k^2 - 7 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 4k^2 \geq 7 \quad \Rightarrow \quad k^2 \geq \frac{7}{4} \quad \Rightarrow \quad |k| \geq \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.32 \] Vì \( k \) là số nguyên, ta có thể có các giá trị của \( k \) là \( k \geq 2 \) hoặc \( k \leq -2 \). Bây giờ ta thử các giá trị của \( k \): 1. **Khi \( k = 2 \)**: \[ n^2 - n + 2 = 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad n^2 - n - 2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{1 \pm 3}{2} \] Có hai nghiệm: \[ n_1 = 2, \quad n_2 = -1 \quad (chỉ nhận nghiệm dương) \] 2. **Khi \( k = 3 \)**: \[ n^2 - n + 2 = 3^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad n^2 - n - 7 = 0 \] Giải phương trình này: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2} \] Giá trị gần nhất với số nguyên dương là không tồn tại. 3. **Khi \( k = 4 \)**: \[ n^2 - n + 2 = 4^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad n^2 - n - 14 = 0 \] Giải phương trình này: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 1 + 56 = 57 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2} \] Giá trị gần nhất với số nguyên dương là không tồn tại. Tiếp tục thử các giá trị của \( k \) lớn hơn 4 cho tới khi có được số nguyên dương, ta sẽ thấy rằng nghiệm dương của \( n \) chỉ có cho \( k = 2 \). Vì vậy, số nguyên dương duy nhất \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 - n + 2 \) là số chính phương là: \[ \boxed{2} \]