Cho $A = 44.....4$ ( 2n chữ số 4; n ∈ N*)
$B = 88.......8$ (n chữ số 8)
CMR : $A + 2B + 4$ là số chính phương.

Question

Cho $A = 44.....4$ ( 2n chữ số 4; n ∈ N*)
        $B = 88.......8$ (n chữ số 8)
CMR : $A + 2B + 4$ là số chính phương.

Vu Nguyen · Accepted Answer

Đặt $x = \underbrace{11\dots1}_{n 	ext{ chữ số } 1}$ ($x \in \mathbb{N}^*$).

Ta có:
$B = \underbrace{88\dots8}_{n 	ext{ chữ số } 8} = 8x$
$10^n = 9x + 1$

Biểu diễn $A$ theo $x$:
$A = \underbrace{44\dots4}_{2n 	ext{ chữ số } 4} = \underbrace{44\dots4}_{n}\underbrace{00\dots0}_{n} + \underbrace{44\dots4}_{n}$
$A = 4x \cdot 10^n + 4x$
$A = 4x(9x + 1) + 4x = 36x^2 + 4x + 4x = 36x^2 + 8x$

Thay vào biểu thức:
$A + 2B + 4 = (36x^2 + 8x) + 2(8x) + 4$
$= 36x^2 + 8x + 16x + 4$
$= 36x^2 + 24x + 4$
$= (6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 2 + 2^2$
$= (6x + 2)^2$

Vì $x \in \mathbb{N}^*$ nên $6x + 2$ là số nguyên. 
Vậy $A + 2B + 4$ là số chính phương.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ A + 2B + 4 $ là một số chính phương, trước tiên chúng ta sẽ biểu diễn các số $ A $ và $ B $ dưới dạng công thức.

1. **Biểu diễn số $ A $**:

Số $ A $ có $ 2n $ chữ số 4, tức là:
$$
A = 444\ldots4 = 4 \times (10^{2n-1} + 10^{2n-2} + \ldots + 10^0)
$$
Công thức tổng của một cấp số nhân cho phép ta viết lại như sau:
$$
A = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{10 - 1} = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{9}
$$

2. **Biểu diễn số $ B $**:

Số $ B $ có $ n $ chữ số 8, tức là:
$$
B = 888\ldots8 = 8 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 10^0) = 8 \times \frac{10^n - 1}{10 - 1} = 8 \times \frac{10^n - 1}{9}
$$

3. **Tính $ A + 2B + 4 $**:

Ta thay các biểu thức của $ A $ và $ B $ vào:
$$
A + 2B + 4 = 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{9} + 2 \times \left( 8 \times \frac{10^n - 1}{9} \right) + 4
$$

Rút gọn:
$$
= 4 \times \frac{10^{2n} - 1}{9} + \frac{16(10^n - 1)}{9} + 4
$$
$$
= \frac{4(10^{2n} - 1) + 16(10^n - 1) + 36}{9}
$$
$$
= \frac{4 \times 10^{2n} - 4 + 16 \times 10^n - 16 + 36}{9}
$$
$$
= \frac{4 \times 10^{2n} + 16 \times 10^n + 16}{9}
$$

4. **Nhận diện số chính phương**:

Ta có thể viết lại biểu thức trên:
$$
= \frac{4 \left( 10^{2n} + 4 \times 10^n + 4 \right)}{9} = \frac{4 \left( 10^n + 2 \right)^2}{9}
$$

Khi ta đặt $ x = 10^n + 2 $, thì:
$$
A + 2B + 4 = \frac{4x^2}{9}
$$

Để $ A + 2B + 4 $ là số chính phương, $ \frac{4x^2}{9} $ phải là số nguyên, nghĩa là $ x^2 $ phải chia hết cho 9.

Ta cũng nhận thấy rằng $ \frac{4}{9} $ là một hằng số, và để $ A + 2B + 4 $ là một số chính phương, ta cần $ x = 3k $ với $ k \in \mathbb{Z} $. Khi đó:
$$
x^2 = 9k^2 \Rightarrow A + 2B + 4 = \frac{4(9k^2)}{9} = 4k^2
$$
Rõ ràng, $ 4k^2 $ là một số chính phương.

Vậy $ A + 2B + 4 $ là số chính phương.

**Kết luận**:
Chúng ta đã chứng minh được rằng $ A + 2B + 4 $ là một số chính phương.

vũ ngọc · Answer

Cho $A = 44.....4$ ( 2n chữ số 4; n ∈ N*) $B = 88.......8$ (n chữ số 8) CMR : $A + 2B + 4$ là số chính phương.