Cho k là số nguyên dương và $a = 3k^2 + 3k + 1. $
Chứng minh rằng $2a$ và $a^2$ là tổng của ba số chính phương.

Question

Cho k là số nguyên dương và $a = 3k^2 + 3k + 1. $
 Chứng minh rằng $2a$ và $a^2$ là tổng của ba số chính phương.

Huycindy · Accepted Answer

Ta có
$2a = 2(3k^2 + 3k + 1)$
$2a = 6k^2 + 6k + 2$
$2a = (k^2 + 2k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + k^2$
$2a = (k + 1)^2 + (2k + 1)^2 + k^2$
Do $k$ là số nguyên dương nên $(k + 1)^2$, $(2k + 1)^2$, $k^2$ là ba số chính phương
Vậy $2a$ là tổng của ba số chính phương
Lại có:
$a = 3k^2 + 3k + 1$
$a = k^2 + (k^2 + 2k + 1) + (k^2 + k)$
$a = k^2 + (k + 1)^2 + k(k + 1)$
Đặt $x = k$ và $y = k + 1$
$a = x^2 + y^2 + xy$
$a^2 = (x^2 + y^2 + xy)^2$
$a^2 = x^4 + y^4 + 3x^2y^2 + 2x^3y + 2xy^3$
$a^2 = (x^2y^2) + (x^4 + 2x^3y + x^2y^2) + (x^2y^2 + 2xy^3 + y^4)$
$a^2 = (xy)^2 + (x^2 + xy)^2 + (xy + y^2)^2$
$a^2 = (xy)^2 + [x(x + y)]^2 + [y(x + y)]^2$
Thay $x = k$ và $y = k + 1$ ta được
$a^2 = [k(k + 1)]^2 + [k(2k + 1)]^2 + [(k + 1)(2k + 1)]^2$
$a^2 = (k^2 + k)^2 + (2k^2 + k)^2 + (2k^2 + 3k + 1)^2$
Do $k$ là số nguyên dương nên $(k^2 + k)^2$, $(2k^2 + k)^2$, $(2k^2 + 3k + 1)^2$ là ba số chính phương
Vậy $a^2$ là tổng của ba số chính phương.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ 2a $ và $ a^2 $ là tổng của ba số chính phương, trước tiên chúng ta sẽ tính $ 2a $ và $ a^2 $ với $ a = 3k^2 + 3k + 1 $.

**Bước 1: Tính $ 2a $**

$$
2a = 2(3k^2 + 3k + 1) = 6k^2 + 6k + 2
$$

**Bước 2: Tính $ a^2 $**

$$
a^2 = (3k^2 + 3k + 1)^2 = 9k^4 + 18k^3 + 13k^2 + 6k + 1
$$

**Bước 3: Chứng minh $ 2a $ là tổng của ba số chính phương**

Ta có thể viết $ 2a = 6k^2 + 6k + 2 $ dưới dạng:

$$
2a = 2(3k^2 + 3k + 1) = 2 \times 1^2 + (3k + 1)^2 + (3k)^2
$$

Xem xét $ 2a = (3k + 1)^2 + (3k)^2 + 2 \times 1^2 $:

- $ (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 $
- $ (3k)^2 = 9k^2 $
- $ 2 \times 1^2 = 2 $

Kết hợp lại:

$$
(3k + 1)^2 + (3k)^2 + 2 \times 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k^2 + 2 = 18k^2 + 6k + 3
$$

Như vậy $ 2a = (3k)^2 + (3k + 1)^2 + 1^2 $.

**Bước 4: Chứng minh $ a^2 $ là tổng của ba số chính phương**

Ta đã tính $ a^2 = 9k^4 + 18k^3 + 13k^2 + 6k + 1 $.

Ta cũng có thể viết lại:

$$
a^2 = (3k^2 + 3k)^2 + (3k)^2 + 1^2
$$

- $ (3k^2 + 3k)^2 = 9k^4 + 18k^3 + 9k^2 $
- $ (3k)^2 = 9k^2 $
- $ 1^2 = 1 $

Tổng lại:

$$
(3k^2 + 3k)^2 + (3k)^2 + 1^2 = 9k^4 + 18k^3 + 9k^2 + 9k^2 + 1 = 9k^4 + 18k^3 + 18k^2 + 1
$$

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh rằng:

- $ 2a $ là tổng của ba số chính phương.
- $ a^2 $ cũng là tổng của ba số chính phương.

Vậy $ 2a $ và $ a^2 $ đều là tổng của ba số chính phương.

**Đáp án:** Đã chứng minh rằng $ 2a $ và $ a^2 $ là tổng của ba số chính phương.

Cho k là số nguyên dương và $a = 3k^2 + 3k + 1. $ Chứng minh rằng $2a$ và $a^2$ là tổng của ba số chính phương.