Tìm số tự nhiên n sao cho $n^2+9$ là số chính phương

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 9 \) là số chính phương, ta giả sử \( n^2 + 9 = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên. Ta có phương trình: \[ k^2 - n^2 = 9 \] Điều này có thể viết lại thành: \[ (k - n)(k + n) = 9 \] Ta sẽ liệt kê tất cả các cặp tích của 9, tức là các cặp \((a, b)\) sao cho \( ab = 9 \): 1. \( (1, 9) \) 2. \( (3, 3) \) 3. \( (-1, -9) \) 4. \( (-3, -3) \) Vì \( k - n \) và \( k + n \) phải là số nguyên dương (vì \( n \) là số tự nhiên), ta chỉ xem xét các cặp dương. ### Cặp \( (1, 9) \): \[ k - n = 1 \\ k + n = 9 \] Cộng hai phương trình lại: \[ (k - n) + (k + n) = 1 + 9 \implies 2k = 10 \implies k = 5 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 5 - n = 1 \implies n = 4 \] ### Cặp \( (3, 3) \): \[ k - n = 3 \\ k + n = 3 \] Cộng hai phương trình lại: \[ (k - n) + (k + n) = 3 + 3 \implies 2k = 6 \implies k = 3 \] Thay vào phương trình đầu tiên: \[ 3 - n = 3 \implies n = 0 \] ### Cặp \( (-1, -9) \) và \( (-3, -3) \) không được xem xét vì không cho số tự nhiên. ### Kết luận: Các giá trị của \( n \) thỏa mãn là \( n = 0 \) và \( n = 4 \). Tuy nhiên, vì \( n \) là số tự nhiên, ta chỉ nhận \( n = 0 \) và \( n = 4 \). **Vậy, số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 9 \) là số chính phương là:** \( n = 0 \) và \( n = 4 \).