tìm $ab=n$ sao cho $2n+1$ và $3n+1$ đồng thời là số chính phương $* ab$ là 1 số có $2$ chữ số

Để tìm các số \( a \) và \( b \) sao cho \( ab = n \) với \( n \) là một số có 2 chữ số, đồng thời \( 2n + 1 \) và \( 3n + 1 \) đều là số chính phương, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. **Đặt các phương trình**: \[ 2n + 1 = k^2 \quad \text{(1)} \] \[ 3n + 1 = m^2 \quad \text{(2)} \] với \( k \) và \( m \) là các số nguyên. 2. **Giải từ phương trình (1)**: Từ phương trình (1): \[ 2n = k^2 - 1 \implies n = \frac{k^2 - 1}{2} \] Điều này có nghĩa \( k^2 - 1 \) phải chia hết cho 2, tức là \( k^2 \) phải là số lẻ. Vậy \( k \) phải là số lẻ. 3. **Thay vào phương trình (2)**: Thay giá trị của \( n \) vào phương trình (2): \[ 3\left(\frac{k^2 - 1}{2}\right) + 1 = m^2 \] \[ \frac{3(k^2 - 1)}{2} + 1 = m^2 \] \[ \frac{3k^2 - 3 + 2}{2} = m^2 \] \[ \frac{3k^2 - 1}{2} = m^2 \] Từ đó, ta có: \[ 3k^2 - 1 = 2m^2 \quad \text{(3)} \] 4. **Giải phương trình (3)**: Phương trình (3) là một phương trình dạng hình chữ nhật. Ta cần tìm các số nguyên \( k \) và \( m \) sao cho phương trình này thỏa mãn. 5. **Tìm các số \( n \)**: Bây giờ ta cần thử nghiệm các giá trị của \( k \) là số lẻ và tính \( n \) tương ứng, từ đó kiểm tra \( 2n + 1 \) và \( 3n + 1 \). - Thử \( k = 1 \): \[ n = \frac{1^2 - 1}{2} = 0 \quad (\text{không phải số 2 chữ số}) \] - Thử \( k = 3 \): \[ n = \frac{3^2 - 1}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 \quad (\text{không phải số 2 chữ số}) \] - Thử \( k = 5 \): \[ n = \frac{5^2 - 1}{2} = \frac{25 - 1}{2} = 12 \quad \] - \( 2n + 1 = 2 \cdot 12 + 1 = 25 = 5^2 \quad \text{(số chính phương)} \) - \( 3n + 1 = 3 \cdot 12 + 1 = 37 \quad \text{(không phải số chính phương)} \) - Thử \( k = 7 \): \[ n = \frac{7^2 - 1}{2} = \frac{49 - 1}{2} = 24 \quad \] - \( 2n + 1 = 2 \cdot 24 + 1 = 49 = 7^2 \quad \text{(số chính phương)} \) - \( 3n + 1 = 3 \cdot 24 + 1 = 73 \quad \text{(không phải số chính phương)} \) - Thử \( k = 9 \): \[ n = \frac{9^2 - 1}{2} = \frac{81 - 1}{2} = 40 \quad \] - \( 2n + 1 = 2 \cdot 40 + 1 = 81 = 9^2 \quad \text{(số chính phương)} \) - \( 3n + 1 = 3 \cdot 40 + 1 = 121 = 11^2 \quad \text{(số chính phương)} \) - Thử \( k = 11 \): \[ n = \frac{11^2 - 1}{2} = \frac{121 - 1}{2} = 60 \quad \] - \( 2n + 1 = 2 \cdot 60 + 1 = 121 = 11^2 \quad \text{(số chính phương)} \) - \( 3n + 1 = 3 \cdot 60 + 1 = 181 \quad \text{(không phải số chính phương)} \) Từ các thử nghiệm, các giá trị cho \( n \) mà thỏa mãn cả hai điều kiện là \( n = 40 \) và \( n = 60 \). 6. **Xét \( n = 40 \) và \( n = 60 \)**: - Với \( n = 40 \), ta có thể phân tích thành \( ab = 40 \): - \( (5, 8) \) - Với \( n = 60 \), ta có thể phân tích thành \( ab = 60 \): - \( (6, 10) \) hoặc \( (4, 15) \) nhưng không phải số có 2 chữ số. Vậy các cặp số \( a, b \) thỏa mãn điều kiện là: \[ (5, 8) \quad \text{và} \quad (8, 5) \] Vì vậy, đáp án cuối cùng là: \[ ab = 40 \]